Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4), C(-1; -2) và D(6;5).
a) Tìm tọa độ của các vectơ −−→AB và −−→CD.
b) Hãy giải thích tại sao các vectơ −−→AB và −−→CD cùng phương.
c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ −−→AC và −−→BE cùng phương.
d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ −−→AE theo các vectơ −−→AB và −−→AC.
a) Tọa độ của vectơ: −−→AB=(xB−xA;yB−yA).
b) Tìm k≠0 sao cho: −−→AB=k.−−→CD.
c) Vectơ →u(a;b) và →v(x;y) (x;y≠0) cùng phương ⇔ax=by (x;y≠0).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: −−→AB=(3−1;4−2)=(2;2);
−−→CD=(6−(−1);5−(−2))=(7;7).
b) Dễ thấy: (2;2)=27.(7;7)⇒−−→AB=27.−−→CD
Vậy hai vectơ −−→AB và −−→CD cùng phương.
c) Ta có: −−→AC=(−1−1;−2−2)=(−2;−4);
−−→BE=(a−3;1−4)=(a−3;−3).
Để −−→AC và −−→BE cùng phương thì a−3−2=−3−4⇔a−3=−32⇔a=32.
Vậy a=32 hay E(32;1) thì hai vectơ −−→AC và −−→BE cùng phương.
d)
Cách 1:
Ta có: −−→BE=(32−3;−3)=(−32;−3); −−→AC=(−2;−4).
⇒−−→BE=34.−−→AC.
Mà −−→AE=−−→AB+−−→BE (quy tắc cộng)
⇒−−→AE=−−→AB+34.−−→AC.
Cách 2:
Giả sử −−→AE=m.−−→AB+n.−−→AC (*)
Ta có: −−→AE=(12;−1);
m.−−→AB=m(2;2)=(2m;2m);
n.−−→AC=n(−2;−4)=(−2n;−4n).
Do đó (*) ⇔(12;−1)=(2m;2m)+(−2n;−4n)
⇔(12;−1)=(2m−2n;2m−4n)
⇔{12=2m−2n−1=2m−4n
⇔{m=1n=34.
Vậy −−→AE=−−→AB+34.−−→AC.
