Giải bài 4.36 trang 72

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4), C(-1; -2) và D(6;5). a) Tìm tọa độ của các vectơ −−→ABAB→\overrightarrow {AB} và −−→CDCD→\overrightarrow {CD} . b) Hãy giải thích tại sao các vectơ −−→ABAB→\overrightarrow {AB} và −−→CDCD→\overrightarrow {CD} cùng phương.

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4), C(-1; -2) và D(6;5).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ .

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ $\vec{A E}$ theo các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tọa độ của vectơ: $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .

b) Tìm $k \neq 0$ sao cho: $\vec{A B} = k . \vec{C D}$ .

c) Vectơ $\vec{u} (a; b)$ và $\vec{v} (x; y)$ $(x; y \neq 0)$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ $(x; y \neq 0)$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{A B} = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2)$ ;

$\vec{C D} = (6 - (- 1); 5 - (- 2)) = (7; 7)$ .

b) Dễ thấy: $(2; 2) = \frac{2}{7} . (7; 7) \Rightarrow \vec{A B} = \frac{2}{7} . \vec{C D}$

Vậy hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng phương.

c) Ta có: $\vec{A C} = (- 1 - 1; - 2 - 2) = (- 2; - 4)$ ;

$\vec{B E} = (a - 3; 1 - 4) = (a - 3; - 3)$ .

Để $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương thì $\frac{a - 3}{- 2} = \frac{- 3}{- 4} \Leftrightarrow a - 3 = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$ .

Vậy $a = \frac{3}{2}$ hay $E (\frac{3}{2}; 1)$ thì hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương.

Cách 1:

Ta có: $\vec{B E} = (\frac{3}{2} - 3; - 3) = (- \frac{3}{2}; - 3)$ ; $\vec{A C} = (- 2; - 4)$ .

$\Rightarrow \vec{B E} = \frac{3}{4} . \vec{A C}$ .

Mà $\vec{A E} = \vec{A B} + \vec{B E}$ (quy tắc cộng)

$\Rightarrow \vec{A E} = \vec{A B} + \frac{3}{4} . \vec{A C}$ .

Cách 2:

Giả sử $\vec{A E} = m . \vec{A B} + n . \vec{A C}$ (*)

Ta có: $\vec{A E} = (\frac{1}{2}; - 1)$ ;

$m . \vec{A B} = m (2; 2) = (2 m; 2 m)$ ;

$n . \vec{A C} = n (- 2; - 4) = (- 2 n; - 4 n)$ .

Do đó (*) $\Leftrightarrow (\frac{1}{2}; - 1) = (2 m; 2 m) + (- 2 n; - 4 n)$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{2}; - 1) = (2 m - 2 n; 2 m - 4 n)$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{1}{2} = 2 m - 2 n \\ - 1 = 2 m - 4 n \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} m = 1 \\ n = \frac{3}{4} \end{cases}$ .

Vậy $\vec{A E} = \vec{A B} + \frac{3}{4} . \vec{A C}$ .