Giải bài 4.37 trang 72

Đề bài

Cho vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Chứng minh rằng $\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Gọi tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là (x; y).

Ta có: $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Đặt $\overrightarrow{i}=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}.\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow \overrightarrow{i}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}.(x;y)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}};\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

$\Rightarrow |\overrightarrow{i}|=\sqrt{{\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)}^2+{\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)}^2}$

$=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}}=1$.

Mặt khác:

$\overrightarrow{i}=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}.\overrightarrow{a}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}.\overrightarrow{a}$ và $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}>0$ với mọi $x,y\ne 0$.

Do đó vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng.

Vậy $\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}$ (hay $\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

Cách 2:

Với mọi vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$, ta có:

$|\overrightarrow{a}|>0\Rightarrow k=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}>0$.

Đặt $\overrightarrow{i}=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}.\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{i}|=|k.\overrightarrow{a}|=|k|.|\overrightarrow{a}|$

$\iff \left|\overrightarrow{i}\right|=k.|\overrightarrow{a}|=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}.|\overrightarrow{a}|=1$.

Mặt khác: $\overrightarrow{i}=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}.\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a}$ và $k>0$.

Do đó vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng.

Vậy $\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}$ (hay $\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.