Giải bài 4.38 trang 72

Cho ba vectơ a, b, u với |a|=1, |b|=1 và a vuông góc với b. Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị i=a,j=b. Chứng minh rằng: a) Vectơ u có tọa độ là (u.a; u.b) b) u= (u.a).a +(u.b).b

Đề bài

Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ và $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ . Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b} .$ Chứng minh rằng:

a) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} . \vec{a}; \vec{u} . \vec{b})$ .

b) $\vec{u} = (\vec{u} . \vec{a}) . \vec{a} + (\vec{u} . \vec{b}) . \vec{b}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ $\vec{u}$ .

$\vec{u} . \vec{a} = | \vec{u} | . | \vec{a} | . \cos (\vec{u} . \vec{a})$ .

b) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ $(x; y)$ trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\vec{i}; \vec{j}$ thì $\vec{u} = x . \vec{i} + y . \vec{j}$ .

Lời giải chi tiết

a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ , $\vec{O C} = \vec{u}$ .

Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}$ , $\vec{j} = \vec{b}$ , lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.

Gọi tọa độ của $\vec{u}$ là $(x; y)$ . Đặt $α = (\vec{u}, \vec{a})$ .

+) Nếu $0^{o} < α < 90^{o}$ :

$x = O M = | \vec{u} | . \cos α = | \vec{u} | . \cos α . | \vec{a} | = \vec{u} . \vec{a}$ .

+) Nếu $90^{o} < α < 180^{o}$ :

$x = - O M = - | \vec{u} | . \cos (180^{o} - α)$

$= | \vec{u} | . \cos α = \vec{u} . \vec{a}$ .

Như vậy ta luôn có: $x = \vec{u} . \vec{a}$ .

Chứng minh tương tự, ta có: $y = \vec{u} . \vec{b}$ .

Vậy vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} . \vec{a}; \vec{u} . \vec{b})$ .

b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}$ , $\vec{j} = \vec{b}$ , vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} . \vec{a}; \vec{u} . \vec{b})$ .

$\Rightarrow \vec{u} = (\vec{u} . \vec{a}) . \vec{i} + (\vec{u} . \vec{b}) . \vec{j}$

$\Leftrightarrow \vec{u} = (\vec{u} . \vec{a}) . \vec{a} + (\vec{u} . \vec{b}) . \vec{b}$ .