Giải bài 4.38 trang 87

Cho tam giác ABC cân tại A có A= 120 . Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{A} = 120^{\circ}$ . Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:

a) $Δ$ BAM = $Δ$ CAN;

b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp g-c-g

b) Chứng minh tam giác có 2 cạnh bằng nhau hoặc 2 góc bằng nhau

Lời giải chi tiết

a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:

$\hat{B A M} = \hat{C A M} (= 90^{\circ})$

AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)

$\hat{B} = \hat{C}$ (Do tam giác ABC cân tại A)

Do đó $Δ B A M = Δ C A N$ (g.c.g)

b) Cách 1:

Xét tam giác ABC cân tại A, có $\hat{A} = 120^{\circ}$ có:

$\hat{B} = \hat{C} = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ .

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

$\hat{B} + \hat{B A M} + \hat{A M B} = 180^{\circ} 30^{\circ} + 90^{\circ} + \hat{A M B} = 180^{\circ} suy ra \hat{A M B} = 60^{\circ} do đó \hat{A M C} = 180^{\circ} - \hat{A M B} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$

Xét tam giác MAC có:

$\begin{array}{l} \hat{A M C} + \hat{M A C} + \hat{C} = 180^{\circ} \\ 120^{\circ} + \hat{M A C} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \\ suy ra \hat{M A C} = 30^{\circ} = \hat{C} \end{array}$

Do đó tam giác AMC cân tại M.

Vì $Δ B A M = Δ C A N$ nên BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)

suy ra BM+MN=CN+NM

hay BN=CM

Xét 2 tam giác ANB và AMC có:

AB=AC (cmt)

$A N = A M$ (do $Δ B A M = Δ C A N$ )

BN=MC (cmt)

Suy ra $Δ A N B = Δ A M C$ (c.c.c)

Mà tam giác AMC cân tại M nên tam giác ANB cân tại N.

Cách 2:

Xét tam giác ABC cân tại A, có $\hat{A} = 120^{\circ}$ có:

$\hat{B} = \hat{C} = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ .

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

$\hat{B} + \hat{B A M} + \hat{A M B} = 180^{\circ} 30^{\circ} + 90^{\circ} + \hat{A M B} = 180^{\circ} suy ra \hat{A M B} = 60^{\circ}$

Vì $Δ B A M = Δ C A N$ nên AM = AN (2 cạnh tương ứng)

Do đó $Δ A M N$ đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)

suy ra $\hat{N A M} = 60^{0}$

Ta có: $\hat{B A N} + \hat{N A M} = \hat{B A M}$

$\hat{B A N} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$

suy ra $\hat{B A N} = 30^{0}$

Xét tam giác ABN có $\hat{B A N} = \hat{A B N} (= 30^{\circ}$ nên $Δ A B N$ cân tại N.

Ta có: $\hat{C A M} + \hat{N A M} = \hat{C A N}$

$\hat{C A M} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$

suy ra $\hat{C A M} = 30^{\circ}$

Xét tam giác ACM có $\hat{C A M} = \hat{A C M} (= 30^{\circ}$ nên $Δ A C M$ cân tại M.