Giải bài 4.39 trang 87

Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 60°. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho CAM=30. Chứng minh rằng: a) Tam giác CAM cân tại M; b) Tam giác BAM là tam giác đều; c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 60°. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\hat{C A M} = 30^{o}$ . Chứng minh rằng:

a) Tam giác CAM cân tại M;

b) Tam giác BAM là tam giác đều;

c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dùng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 180 độ suy ra góc A bằng góc C.

b) Chứng minh tam giác ABM cân có 1 góc bằng 60 độ

c) Dùng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 180 độ để tính số đo 3 góc từ đó suy ra tam giác đều

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC có:

$\begin{array}{l} \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \\ 90^{o} + 60^{o} + \hat{C} = 180^{o} \\ \hat{C} = 30^{o} \end{array}$

Xét tam giác CAM có $\hat{A} = \hat{C} = 30^{o}$

Suy ra tam giác CAM cân tại M.

b) Xét tam giác CAM có:

$\begin{array}{l} \hat{C} + \hat{C M A} + \hat{C A M} = 180^{o} \\ 30^{o} + \hat{C M A} + 30^{o} = 180^{o} \\ \hat{C M A} = 120^{o} \\ \hat{B M A} = 180^{o} - \hat{C M A} = 180^{o} - 120^{o} = 60^{o} \end{array}$

Xét tam giác ABM có:

$\begin{array}{l} \hat{B} + \hat{B M A} + \hat{B A M} = 180^{o} \\ 60^{o} + 60^{o} + \hat{B A M} = 180^{o} \\ \hat{B A M} = 60^{o} \end{array}$

Do $\hat{B A M} = \hat{B M A} = \hat{A B M} = 60^{o}$ nên tam giác ABM đều.

c) Vì $Δ A B M$ đều nên $A B = B M = A M$

Mà $Δ C A M$ cân tại M nên MA = MC

Suy ra MB = MC. Mà M nằm giữa B và C

Do đó M là trung điểm của BC.