Giải bài 4.5 trang 47

Cho tam giác ABC không vuông, với trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O).

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ không vuông, với trực tâm $H$ , nội tiếp đường tròn $(O) .$ Kẻ đường kính $A A^{'}$ của đường tròn $(O)$ .

a) Chứng minh rằng $\vec{B H} = \vec{A^{'} C}$ .

b) Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ . Tìm mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của hai vectơ $\vec{A H}$ và $\vec{O M}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh tứ giác $A B H C$ là hình bình hành.

- Chứng minh $M$ là trung điểm của $A^{'} H$ .

- Chứng minh $M O$ là đường trung bình của $Δ A A^{'} H$ .

Lời giải chi tiết

a) Xét $(O)$ có: $\hat{A B A^{'}} = \hat{A C A^{'}} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow A^{'} C ⊥ A C$ và $A^{'} B ⊥ A B$ (1)

Ta có: $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ .

$\Rightarrow B H ⊥ A C$ và $C H ⊥ A B$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $B H$ // $A^{'} C$ và $A^{'} B$ // $C H$ .

Xét tứ giác $A^{'} B H C$ có: $B H$ // $A^{'} C$ và $A^{'} B$ // $C H$ .

$\Rightarrow$ Tứ giác $A^{'} B H C$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow \vec{B H} = \vec{A^{'} C}$

b) Ta có: Tứ giác $A^{'} B H C$ là hình bình hành nên $M$ là trung điểm của $A^{'} H$ .

Xét $Δ A A^{'} H$ có: $M$ là trung điểm của $A^{'} H$ .

$O$ là trung điểm của $A A^{'}$ .

$\Rightarrow$ $M O$ là đường trung bình của $Δ A A^{'} H$ .

$\Rightarrow$ $M O$ // $A H$ và $2 M O = A H$ .

$\Rightarrow$ hai vectơ $\vec{M O}, \vec{A H}$ cùng hướng và $2 \vec{O M} = \vec{A H}$ .