Giải bài 4.5 trang 47

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ không vuông, với trực tâm $H$ , nội tiếp đường tròn $(O) .$ Kẻ đường kính $A A^{'}$ của đường tròn $(O)$ .

a) Chứng minh rằng $\vec{B H} = \vec{A^{'} C}$ .

b) Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ . Tìm mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của hai vectơ $\vec{A H}$ và $\vec{O M}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh tứ giác $A B H C$ là hình bình hành.

- Chứng minh $M$ là trung điểm của $A^{'} H$ .

- Chứng minh $M O$ là đường trung bình của $Δ A A^{'} H$ .

Lời giải chi tiết

a) Xét $(O)$ có: $\hat{A B A^{'}} = \hat{A C A^{'}} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow A^{'} C ⊥ A C$ và $A^{'} B ⊥ A B$ (1)

Ta có: $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ .

$\Rightarrow B H ⊥ A C$ và $C H ⊥ A B$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $B H$ // $A^{'} C$ và $A^{'} B$ // $C H$ .

Xét tứ giác $A^{'} B H C$ có: $B H$ // $A^{'} C$ và $A^{'} B$ // $C H$ .

$\Rightarrow$ Tứ giác $A^{'} B H C$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow \vec{B H} = \vec{A^{'} C}$

b) Ta có: Tứ giác $A^{'} B H C$ là hình bình hành nên $M$ là trung điểm của $A^{'} H$ .

Xét $Δ A A^{'} H$ có: $M$ là trung điểm của $A^{'} H$ .

$O$ là trung điểm của $A A^{'}$ .

$\Rightarrow$ $M O$ là đường trung bình của $Δ A A^{'} H$ .

$\Rightarrow$ $M O$ // $A H$ và $2 M O = A H$ .

$\Rightarrow$ hai vectơ $\vec{M O}, \vec{A H}$ cùng hướng và $2 \vec{O M} = \vec{A H}$ .