Giải bài 4.53 trang 68

Cho tam giác ABC có AB = 1,BC = 2

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ có $A B = 1, B C = 2$ và $\hat{A B C} = 60^{\circ} .$ Tích vô hướng $\vec{B C} . \vec{C A}$ bằng

A. $\sqrt{3}$

B. $- \sqrt{3}$

C. $3$

D. $- 3$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng định lý cosin để tính $A C$ : $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B . B C . \cos \hat{A B C}$

- Áp dụng định lý sin để tính góc $\hat{A C B}$ : $\frac{A B}{\sin \hat{A C B}} = \frac{A C}{\sin \hat{A B C}}$

- Áp dụng công thức tính tích vô hướng của $\vec{B C} . \vec{C A}$

Lời giải chi tiết

Gọi $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$

Áp dụng định lý cosin, ta có:

$\begin{array}{l} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B . B C . \cos \hat{A B C} \\ \Rightarrow A C^{2} = 1 + 4 - 2.1.2. \cos 60^{\circ} = 3 \\ \Rightarrow A C = \sqrt{3} \end{array}$

Áp dụng định lý sin, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{A B}{\sin \hat{A C B}} = \frac{A C}{\sin \hat{A B C}} \Leftrightarrow \frac{1}{\sin \vec{A C B}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} \\ \Leftrightarrow \sin \hat{A C B} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \hat{A C B} = 30^{\circ} \Rightarrow \hat{A C D} = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \end{array}$

Ta có: $\vec{B C} . \vec{C A} = \vec{C D} . \vec{C A} = C D . C A . \cos (\vec{C D}, \vec{C A}) = 2.2. \cos 150^{\circ} = - 3$

Chọn D.