Giải bài 4.55 trang 69

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1,AC = 2. Lấy M,N,P tương ứng thuộc các cạnh BC,CA,AB sao cho 2BM = MC,CN = 2NA,AP = 2PB.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 1, A C = 2.$ Lấy $M, N, P$ tương ứng thuộc các cạnh $B C, C A, A B$ sao cho $2 B M = M C, C N = 2 N A, A P = 2 P B .$ Giá trị của tích vô hướng $\vec{A M} . \vec{N P}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. $- \frac{1}{2}$

C. $0$

D. $1$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\frac{C N}{C A} = \frac{C M}{C B} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ $M N$ // $A B$ hay $M N$ // $A P$ (1)

Ta có: $\frac{B P}{B A} = \frac{B M}{B C} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow$ $M P$ // $A C$ hay $M P$ // $A N$ (2)

Ta có: $A P = \frac{2}{3} A B = \frac{2}{3} .1 = \frac{2}{3}$ và $A N = \frac{1}{3} A C = \frac{2}{3}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ Tứ giác $A P M N$ là hình bình hành

Mặt khác $\hat{P A N} = 90^{\circ}$ và $A P = A N = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ tứ giác $A P M N$ là hình vuông

$\Rightarrow$ $A M ⊥ P N$ $\Rightarrow \vec{A M} . \vec{N P} = 0$

Chọn C