Giải bài 4.56 trang 69

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy $M, N, P$ lần lượt thuộc các cạnh $B C, C A, A B$ sao cho $B M = 2 M C, C N = 2 N A$ và $A M ⊥ N P .$ Tỉ số của $\frac{A P}{A B}$ bằng

A. $\frac{5}{12}$

B. $\frac{7}{12}$

C. $\frac{5}{7}$

D. $\frac{7}{5}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đặt $A P = x$ $(0 < x < 1)$

- Biểu diễn các vectơ $\vec{P N}$ và $\vec{A M}$ theo các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$

- Tìm x dựa vào tích vô hướng của hai vectơ $\vec{A M} . \vec{P N} = 0$

Lời giải chi tiết

Đặt $A P = x$ $(0 < x < 1)$

Ta có: $\vec{P N} = \vec{P A} + \vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C} - x \vec{A B}$

Ta có: $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{B C} = \vec{A B} + \frac{2}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

Ta có: $A M ⊥ P N$ $\Rightarrow$ $\vec{A M} . \vec{P N} = 0$

$\Leftrightarrow$ $(\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}) . (\frac{1}{3} \vec{A C} - x \vec{A B}) = 0$

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{9} \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{x}{3} {\vec{A B}}^{2} + \frac{2}{9} {\vec{A C}}^{2} - \frac{2 x}{3} \vec{A C} . \vec{A B} = 0$

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{9} . \frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{2 x}{3} . \frac{1}{2} = 0$

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{18} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{x}{3} = 0$

$\Leftrightarrow$ $1 - 6 x + 4 - 6 x = 0$

$\Leftrightarrow$ $12 x = 5$ $\Leftrightarrow$ $x = \frac{5}{12}$

Vậy $\frac{A P}{A B} = \frac{5}{12}$

Chọn A.