Giải bài 4.57 trang 69

Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ đều có độ dài cạnh bằng $3 a$ . Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $B C$ sao cho $M B = 2 M C .$ Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{M A}$ và $\vec{M C}$ bằng

A. $\frac{a^{2}}{2}$

B. $- \frac{a^{2}}{2}$

C. $a^{2}$

D. $- a^{2}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\vec{M A} = \vec{M B} + \vec{B A} = - \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{B C} = - \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

$\vec{M C} = \frac{1}{3} \vec{C B} = \frac{1}{3} (\vec{A B} - \vec{A C}) = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

Ta có: $\vec{M A} . \vec{M C} = (- \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}) (\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C})$

$\begin{array}{l} = - \frac{1}{9} {\vec{A B}}^{2} + \frac{2}{9} {\vec{A C}}^{2} - \frac{1}{9} \vec{A B} . \vec{A C} \\ = - \frac{1}{9} {\vec{A B}}^{2} + \frac{2}{9} {\vec{A C}}^{2} - \frac{1}{9} . A B . A C . \cos \hat{B A C} \\ = - \frac{1}{9} .9 a^{2} + \frac{2}{9} .9 a^{2} - \frac{1}{9} .9 a^{2} . \cos 60^{\circ} \\ = - a^{2} + 2 a^{2} - a^{2} . \frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{2} \end{array}$

Chọn A.