Giải bài 4.6 trang 48

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của AN và CM với đường chéo BD. Chứng minh rằng: $DP=PQ=QB$

Lời giải chi tiết

Gọi E là giao điểm của AC và BD trong hình bình hành ABCD nên $DE=BE=\frac{1}{2}BD$, $AE=EC=\frac{1}{2}AC$

Tam giác ADC có hai đường trung tuyến AN và DE cắt nhau tại P nên P là trọng tâm của tam giác ADC. Do đó, $DP=\frac{2}{3}DE=\frac{1}{3}BD$.

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE và CM cắt nhau tại Q nên Q là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó, $BQ=\frac{2}{3}BE=\frac{1}{3}BD$.

Do đó, $BQ=DP=\frac{1}{3}BD$

Mà $BQ+DP+PQ=BD$ nên $PQ=\frac{1}{3}BD$

Vậy $DP=PQ=QB$