Giải bài 4.7 trang 45

Xét tam giác ABC vuông tại B, có (widehat A = {30^o}). Tia Bt sao cho (widehat {CBt} = {30^o}) cắt tia AC ở D, D nằm giữa A và C. Chứng minh rằng khoảng cách từ D đến đường thẳng BC bằng (frac{{AB}}{4}).

Đề bài

Xét tam giác ABC vuông tại B, có $\hat{A} = 30^{o}$ . Tia Bt sao cho $\hat{C B t} = 30^{o}$ cắt tia AC ở D, D nằm giữa A và C. Chứng minh rằng khoảng cách từ D đến đường thẳng BC bằng $\frac{A B}{4}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tam giác ABC vuông tại B, $\hat{A} = 30^{o}$ nên tính được góc C.

+ Tính góc BDC từ đó suy ra tam giác BDC vuông tại D, suy ra $\frac{B D}{A B} = \sin \hat{B A D}$ .

+ Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ D lên BC thì DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng BC.

+ Tam giác BDE vuông tại E nên $\frac{D E}{B D} = \sin \hat{D B E}$ .

+ Ta có: $\frac{D E}{A B} = \frac{D E}{B D} . \frac{B D}{A B}$ , từ đó tính được $D E = \frac{A B}{4}$ .

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại B nên $\hat{C} = 90^{o} - \hat{A} = 60^{o}$ .

Tam giác BCD có: $\hat{B D C} = 180^{o} - \hat{D B C} - \hat{C} = 90^{o}$ . Do đó, tam giác BCD vuông tại D.

Suy ra, $\frac{B D}{A B} = \sin \hat{B A D} = \sin 30^{o} = \frac{1}{2}$

Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ D lên BC thì DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng BC.

Trong tam giác BDE vuông tại E có: $\frac{D E}{B D} = \sin \hat{D B E} = \sin 30^{o} = \frac{1}{2}$

Ta có: $\frac{D E}{A B} = \frac{D E}{B D} . \frac{B D}{A B} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ , suy ra $D E = \frac{A B}{4}$ .