Giải bài 4.8 trang 50

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O.$ $M$ là một điểm tùy ý thuộc cạnh $BC,$ khác $B$ và $C.$ $MO$ cắt cạnh $AD$ tại $N.$

a) Chứng minh rằng $O$ là trung điểm của $MN.$

b) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD.$ Chứng minh rằng $G$ cũng là trọng tâm tam giác $MNC.$

Lời giải chi tiết

a)  Xét $\Delta BOM$ và $\Delta DON$ có:

$\widehat{BMO}=\widehat{DNO}$ (2 góc so le trong)

$OB=OD$

$\widehat{BOM}=\overrightarrow{DOC}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\Delta BOM=\Delta DON$ (g.c.g)

$\Rightarrow$ $OM=ON$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ $O$ là trung điểm của $MN$

b)  Ta có: $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD$

nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\Delta BOM=\Delta DON$

$\Rightarrow$ $BM=DN$

Mặt khác $BM$//$DN$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ND}$

Xét $\Delta MNC$:

$\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GC}=\left(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DN}\right)+\overrightarrow{GC}$

$=\left(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)+\left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{DN}\right)=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow$ $G$ là trọng tâm của $\Delta MNC$