Giải bài 4.9 trang 8

Đề bài

Cho $F\left(u\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(u\right)$ trên khoảng $K$ và $u\left(x\right),x\in J$, là hàm số có đạo hàm liên tục, $u\left(x\right)\in K$ với mọi $x\in J$. Tìm $\int f\left(u\left(x\right)\right)\cdot u^{\prime }\left(x\right)dx$.

Áp dụng: Tìm $\int {\left(2x+1\right)}^{5}dx$ và $\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx$.

Lời giải chi tiết

Do $F^{\prime }=f$ nên ta có đạo hàm hàm hợp của $F\left(u\left(x\right)\right)$ là:

$F^{\prime }\left(u\left(x\right)\right)=f\left(u\left(x\right)\right)\cdot u^{\prime }\left(x\right)\left(1\right)$.

Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (1), ta được $F\left(u\left(x\right)\right)+C=\int f\left(u\left(x\right)\right)\cdot u^{\prime }\left(x\right)dx$.

Suy ra $\int f\left(u\left(x\right)\right)\cdot u^{\prime }\left(x\right)dx=F\left(u\left(x\right)\right)+C$.

Ta áp dụng để tìm các nguyên hàm sau:

$\int {\left(2x+1\right)}^{5}dx=\int {\left(2x+1\right)}^5\cdot {\left(2x+1\right)}^{\prime }\cdot \frac{1}{2}dx$

$=\frac{1}{2}\int {\left(2x+1\right)}^5\cdot {\left(2x+1\right)}^{\prime }dx$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\left(2x+1\right)}^6}{6}+C=\frac{{\left(2x+1\right)}^6}{12}+C$;

$\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}\cdot {\left(2x+1\right)}^{\prime }\cdot \frac{1}{2}dx$

$=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{2x+1}+C=\sqrt{2x+1}+C$.