Giải bài 4 trang 10

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}); b) (y = frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}); c) (y = frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}); d) (y = frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}).

Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) $y = \frac{x^{2} + 8}{x + 1}$ ;

b) $y = \frac{x^{2} - 8 x + 10}{x - 2}$ ;

c) $y = \frac{- 2 x^{2} + x + 2}{2 x - 1}$ ;

d) $y = \frac{- x^{2} - 6 x - 25}{x + 3}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số $f (x)$ :

Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

Bước 2. Tính đạo hàm $f^{'} (x)$ của hàm số. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} \in D$ mà tại đó đạo hàm $f^{'} (x)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ theo thứ tự tăng dần, xét dấu $f^{'} (x)$ và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = \frac{x^{2} + 8}{x + 1}$ .

Tập xác định: $D = R ∖ {- 1}$ .

Ta có $y^{'} = \frac{{(x^{2} + 8)}^{'} (x + 1) - (x^{2} + 8) {(x + 1)}^{'}}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{2 x (x + 1) - (x^{2} + 8)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = - 4$ .

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 4)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên các khoảng $(- 4; - 1)$ và $(- 1; 2)$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 4, y_{C Đ} = - 4$ ; hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2, y_{C T} = 2$ .

b) Xét hàm số $y = \frac{x^{2} - 8 x + 10}{x - 2}$ .

Tập xác định: $D = R ∖ {2}$ .

Ta có

$\begin{array}{l} y^{'} = \frac{{(x^{2} - 8 x + 10)}^{'} (x - 2) - (x^{2} - 8 x + 10) {(x - 2)}^{'}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(2 x - 8) (x - 2) - (x^{2} - 8 x + 10)}{{(x - 2)}^{2}} \\ = \frac{x^{2} - 4 x + 6}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{{(x - 2)}^{2} + 2}{{(x - 2)}^{2}} > 0 \end{array}$

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$ .

Hàm số không có cực trị.

c) Xét hàm số $y = \frac{- 2 x^{2} + x + 2}{2 x - 1}$ .

Tập xác định: $D = R ∖ {\frac{1}{2}}$ .

Ta có

$\begin{array}{l} y^{'} = \frac{{(- 2 x^{2} + x + 2)}^{'} (2 x - 1) - (- 2 x^{2} + x + 2) {(2 x - 1)}^{'}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(- 4 x + 1) (2 x - 1) - (- 2 x^{2} + x + 2) .2}{{(2 x - 1)}^{2}} \\ = \frac{- 4 x^{2} + 4 x - 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{- {(2 x - 1)}^{2} - 4}{{(2 x - 1)}^{2}} < 0 \end{array}$

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; \frac{1}{2})$ và $(\frac{1}{2}; + \infty)$ .

Hàm số không có cực trị.

d) Xét hàm số $y = \frac{- x^{2} - 6 x - 25}{x + 3}$ .

Tập xác định: $D = R ∖ {- 3}$ .

Ta có

$\begin{array}{l} y^{'} = \frac{{(- x^{2} - 6 x - 25)}^{'} (x + 3) - (- x^{2} - 6 x - 25) {(x + 3)}^{'}}{{(x + 3)}^{2}} \\ = \frac{- 2 x (x + 3) - (- x^{2} - 6 x - 25)}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{- x^{2} - 6 x + 7}{{(x + 3)}^{2}} \end{array}$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 7$ .

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- 7; - 3)$ và $(- 3; 1)$ , nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 7)$ và $(1; + \infty)$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1, y_{C Đ} = - 8$ ; hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 7, y_{C T} = 8$ .