Giải bài 4 trang 10

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau đây:

Đề bài

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau đây:

a) $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 2$ .

b) $f (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 21$ .

c) $f (x) = - 2 x^{2} + x - 2$ .

d) $f (x) = - 4 x (x + 3) - 9$ .

e) $f (x) = (2 x + 5) (x - 3)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Bước 2: Xác định nghiệm của $f (x)$ (nếu có) $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Bước 3: Xác định dấu của hệ số $a$ .

Bước 4: Xác định dấu của $f (x)$ .

Lời giải chi tiết

a) $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 2$ có $Δ = 0$ , có nghiệm kép là $x_{1} = x_{2} = - 1$ và $a = 2 > 0$ .

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy $f (x)$ dương với mọi $x \neq - 1$ .

b) $f (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 21$ có $Δ = 256 > 0$ , hai nghiệm phân biệt là $x_{1} = - \frac{7}{3}; x_{2} = 3$ và $a = - 3 < 0$ .

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy $f (x)$ dương với $x \in (- \frac{7}{3}; 3)$ và âm khi $x \in (- \infty; - \frac{7}{3}) \cup (3; + \infty)$ .

c) $f (x) = - 2 x^{2} + x - 2$ có $Δ = - 15 < 0$ , tam thức vô nghiệm và $a = - 2 < 0$ .

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy $f (x)$ âm với mọi $x \in R$ .

d) $f (x) = - 4 x (x + 3) - 9 = - 4 x^{2} - 12 x - 9$ có $Δ = 0$ , tam thức có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{3}{2}$ và $a = - 4 < 0$ .

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy $f (x)$ âm với mọi $x \neq - \frac{3}{2}$ .

e) $f (x) = (2 x + 5) (x - 3) = 2 x^{2} - x - 15$ có $Δ = 121 > 0$ , có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = - \frac{5}{2}; x_{2} = 3$ và có $a = 2 > 0$ .

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy $f (x)$ âm với $x \in (- \frac{5}{2}; 3)$ và dương khi $x \in (- \infty; - \frac{5}{2}) \cup (3; + \infty)$ .