Giải bài 4 trang 102

Cho hai đường tròn (O; 17cm) và (O'; 10cm) cắt nhau tại A và B. Biết OO' = 21cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Đề bài

Cho hai đường tròn (O; 17cm) và (O'; 10cm) cắt nhau tại A và B. Biết OO' = 21cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Chứng minh OO’ là đường trung trực của AB, từ đó suy ra $A H = B H = \frac{A B}{2}$ .

Bước 2: Tính $O^{'} H = O O^{'} - O H = 21 - O H$ .

Bước 3: Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AOH và O’AH để biểu diễn AH thông qua OH và tính OH.

Bước 4: Tính $A B = 2 A H$ .

Lời giải chi tiết

Gọi H là giao điểm của OO’ và AB.

Ta có: $O A = O B (= 17 c m)$ nên O thuộc đường trung trực của AB;

$O^{'} A = O^{'} B (= 10 c m)$ nên O’ thuộc đường trung trực của AB.

Suy ra OO’ là đường trung trực của AB, do đó $A H = B H = \frac{A B}{2}$ và $O O^{'} ⊥ A B$ tại H.

Ta có $O^{'} H = O O^{'} - O H = 21 - O H$

Mặt khác: Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AOH và O’AH ta được:

$O A^{2} - O H^{2} = O^{'} A^{2} - O^{'} H^{2} (= A H^{2})$

Nên $17^{2} - O H^{2} = 10^{2} - {(21 - O H)}^{2}$ hay $17^{2} - O H^{2} = 10^{2} - (21^{2} - 42 O H + O H^{2})$ do đó $O H = 15$ cm.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OAH ta có: $A H = \sqrt{O A^{2} - O H^{2}} = \sqrt{17^{2} - 15^{2}} = 8$ cm.

Vậy $A B = 2 A H = 2.8 = 16$ cm.