Đề bài
Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho −−→CE=−−→AN (hình 1)
a) Tìm tổng của các vectơ:
−−→NC và −−→MC; −−→AM và −−→CD; −−→AD và −−→NC
b) Tìm các vectơ hiệu:
−−→NC−−−→MC; −−→AC−−−→BC; −−→AB−−−→ME.
c) Chứng minh −−→AM+−−→AN=−−→AB+−−→AD
a) Chỉ ra các hình bình hành, từ đó suy ra các vectơ bằng nhau và vận dụng quy tắc hình bình hành.
b) Quy tắc hiệu: −−→AB−−−→AC=−−→CB, quy tắc ba điểm −−→AB=−−→AO+−−→OB và thay thế các vectơ bằng nhau −−→ME=−−→AD
c) Thay thế các vectơ bằng nhau −−→AN=−−→MC; sử dụng quy tắc hình bình hành −−→AB+−−→AD=−−→AC (với ABCD là hình bình hành)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: −−→CE=−−→AN⇒CE//AN và CE=AN=ND=BM=MC
Suy ra −−→MC=−−→CE
+) −−→NC+−−→MC=−−→NC+−−→CE=−−→NE
+) ABCD là hình bình hành nên −−→CD=−−→BA
−−→AM+−−→CD=−−→AM+−−→BA=−−→BM
+) Ta có −−→MC=−−→AN⇒AMCN là hình bình hành nên −−→NC=−−→AM
−−→AD+−−→NC=−−→AD+−−→AM=−−→AE (vì AMED là hình bình hành)
b) Ta có:
+) −−→NC−−−→MC=−−→NC+−−→CM=−−−→NM
+) −−→AC−−−→BC=−−→AC+−−→CB=−−→AB
+) −−→AB−−−→ME=−−→AB−−−→AD=−−→AB+−−→DA=−−→DB
c) Ta có:
−−→AM+−−→AN=−−→AM+−−→MC=−−→AC
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có
−−→AB+−−→AD=−−→AC
Từ đó suy ra −−→AM+−−→AN=−−→AB+−−→AD (đpcm)
