Giải bài 4 trang 102

Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\vec{C E} = \vec{A N}$ (hình 1)

a) Tìm tổng của các vectơ:

$\vec{N C}$ và $\vec{M C}$ ; $\vec{A M}$ và $\vec{C D}$ ; $\vec{A D}$ và $\vec{N C}$

b) Tìm các vectơ hiệu:

$\vec{N C} - \vec{M C}$ ; $\vec{A C} - \vec{B C}$ ; $\vec{A B} - \vec{M E}$ .

c) Chứng minh $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A D}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chỉ ra các hình bình hành, từ đó suy ra các vectơ bằng nhau và vận dụng quy tắc hình bình hành.

b) Quy tắc hiệu: $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ , quy tắc ba điểm $\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B}$ và thay thế các vectơ bằng nhau $\vec{M E} = \vec{A D}$

c) Thay thế các vectơ bằng nhau $\vec{A N} = \vec{M C}$ ; sử dụng quy tắc hình bình hành $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (với ABCD là hình bình hành)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{C E} = \vec{A N} \Rightarrow C E / / A N$ và $C E = A N = N D = B M = M C$

Suy ra $\vec{M C} = \vec{C E}$

+) $\vec{N C} + \vec{M C} = \vec{N C} + \vec{C E} = \vec{N E}$

+) ABCD là hình bình hành nên $\vec{C D} = \vec{B A}$

$\vec{A M} + \vec{C D} = \vec{A M} + \vec{B A} = \vec{B M}$

+) Ta có $\vec{M C} = \vec{A N} \Rightarrow A M C N$ là hình bình hành nên $\vec{N C} = \vec{A M}$

$\vec{A D} + \vec{N C} = \vec{A D} + \vec{A M} = \vec{A E}$ (vì AMED là hình bình hành)

b) Ta có:

+) $\vec{N C} - \vec{M C} = \vec{N C} + \vec{C M} = \vec{N M}$

+) $\vec{A C} - \vec{B C} = \vec{A C} + \vec{C B} = \vec{A B}$

+) $\vec{A B} - \vec{M E} = \vec{A B} - \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{D A} = \vec{D B}$

c) Ta có:

$\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A M} + \vec{M C} = \vec{A C}$

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

Từ đó suy ra $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A D}$ (đpcm)