Giải bài 4 trang 103

Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương

Đề bài

Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , ta có:

$| \vec{a} | - | \vec{b} | \leq | \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$

Lời giải chi tiết

TH1: $\vec{a} = \vec{0}$

$\Rightarrow | \vec{a} | - | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} | = | \vec{b} |$

TH2: $\vec{b} = \vec{0}$

$\Rightarrow | \vec{a} | - | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} | = | \vec{a} |$

TH3: $\vec{a} \neq \vec{0}$ và $\vec{b} \neq \vec{0}$

Lấy A bất kì, vẽ $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Dựng hình bình hành ABCD, đặt $\vec{c} = \vec{A C}$

Ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} = \vec{c}$

Xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$A B - B C < A C < A B + B C$

Mà $| \vec{a} | = | \vec{A B} | = A B; | \vec{b} | = | \vec{A D} | = A D = B C; | \vec{c} | = | \vec{A C} | = A C;$

$\Rightarrow | \vec{a} | - | \vec{b} | < | \vec{a} + \vec{b} | < | \vec{a} | + | \vec{b} |$

Vậy $| \vec{a} | - | \vec{b} | \leq | \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$