Giải bài 4 trang 104

Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BE và CK. Chứng minh tứ giác BKEC là hình thang cân.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BE và CK. Chứng minh tứ giác BKEC là hình thang cân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh BKEC là hình thang có $\hat{A B C} = \hat{A C B}$

Lời giải chi tiết

Do BE là phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{\hat{A B C}}{2}$

CK là phân giác của $\hat{A C B}$ nên $\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}} = \frac{\hat{A C B}}{2}$

Mà: $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180^{0} - \hat{A}}{2} (1)$ (do $Δ A B C$ cân tại A)

$\Rightarrow \hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \hat{C_{1}} = \hat{C_{2}}$

Xét $Δ A E B$ và $Δ A K C$ có: $\hat{A}$ chung, $\hat{B_{1}} = \hat{C_{1}}$

AB = AC $\Rightarrow Δ A E B = Δ A K C (g . c . g)$

$\Rightarrow A E = A K \Rightarrow Δ A E K$ cân tại A.. $\hat{A E K} = \hat{A K E} = \frac{180^{0} - \hat{A}}{2} (2)$

Từ (1), (2) suy ra: $\hat{A B C} = \hat{A K E} \Rightarrow K E / / B C$ (2 góc đồng vị)

Suy ra BKEC là hình thang (3)

Từ (1), (3) suy ra BKEC là hình thang cân.