Giải bài 4 trang 104 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho hình thoi ABCD có (widehat A = {60^o}). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

Đề bài

Cho hình thoi ABCD có $\hat{A} = 60^{o}$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Theo hình vẽ, ta thấy $M B N P D Q$ là lục giác lồi.

+ Gọi $a$ là độ dài cạnh hình thoi thì $B M = B N = D P = D Q = \frac{a}{2} .$

+ Chứng minh tam giác AMQ và CNP là các tam giác đều nên $M Q = A M, N P = C P$ , $\hat{Q M B} = 180^{o} - \hat{Q M A} = 120^{o} .$

+ Chứng minh tương tự $\hat{B N P} = \hat{N P D} = \hat{D Q M} = 120^{o} .$

+ Vì $A B C D$ là hình thoi nên $\hat{M B N} = \hat{P D Q} = 180^{o} - \hat{A}$ .

+ $M B N P D Q$ là lục giác lồi có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau và do đó là lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Theo hình vẽ, ta thấy $M B N P D Q$ là lục giác lồi. Gọi $a$ là độ dài cạnh hình thoi. Như vậy: $B M = B N = D P = D Q = \frac{a}{2} .$

Mặt khác, các tam giác cân $A M Q$ và $C N P$ có $\hat{A} = \hat{C} = 60^{o}$ nên chúng là tam giác đều.

Do đó $M Q = A M = \frac{a}{2}, N P = C P = \frac{a}{2} .$ Hơn nữa $\hat{Q M B} = 180^{o} - \hat{Q M A} = 120^{o} .$

Tương tự, $\hat{B N P} = \hat{N P D} = \hat{D Q M} = 120^{o} .$

Vì $A B C D$ là hình thoi nên $\hat{M B N} = \hat{P D Q} = 180^{o} - \hat{A} = 120^{o} .$ Vậy $M B N P D Q$ là lục giác lồi có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau và do đó là lục giác đều.