Giải bài 4 trang 114 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.

a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF=SA+SB.

b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng $S E = S F$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra $E A = M E$ , $F B = F M$ .

+ Chu vi của $Δ$ SEF là:

$P_{S E F} = S E + E F + S F = S E + M E + M F + S F = (S E + E A) + (F B + S F) = S A + S B$ .

b) + Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra $S A = S B$ và SO là tia phân giác của góc ASB.

+ Chứng minh SAB cân tại S nên SO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao suy ra $S O ⊥ A B$ .

+ Chứng minh EF//AB.

+ Chứng minh $\frac{S E}{S A} = \frac{S F}{S B}$ , mà $S A = S B$ , do đó $S E = S F$

Lời giải chi tiết

(H.5.31)

a) Xét hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại E ta có $E A = M E$ . Tương tự, có $F B = F M$ .

Chu vi của tam giác SEF là

$P_{S E F} = S E + E F + S F = S E + M E + M F + S F = S E + E A + F B + S F$

$= (S E + E A) + (F B + S F) = S A + S B$ (điều phải chứng minh)

b) Giả sử M trùng với giao điểm của SO và (O).

Xét hai tiếp tuyến SA, SB của (O) cắt nhau tại S, ta có $S A = S B$ và SO là tia phân giác của góc ASB.

Tam giác SAB cân tại S (do $S A = S B$ ) có SO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao của tam giác, tức là $S O ⊥ A B$ .

EF là tiếp tuyến của (O) tại M nên $E F ⊥ S O$ .

Từ đó suy ra EF//AB (cùng vuông góc với SO).

Tam giác SAB có EF//AB nên $\frac{S E}{S A} = \frac{S F}{S B}$ , mà $S A = S B$ , do đó $S E = S F$ (điều phải chứng minh)