Giải bài 4 trang 115

Đề bài

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh tam giác ABC đều bằng cách chứng minh AB = BC = CA.

Lời giải chi tiết

Ta có: I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC. Đồng thời là giao điểm của ba đường trung trực tam giác ABC nên: $I D ⊥ B C; I E ⊥ A C; I F ⊥ A B$ .

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

$\hat{B A D} = \hat{C A D}$ (AD là phân giác của góc A);

AD chung;

$\hat{A D B} = \hat{A D C} (= 90^{0})$ (vì $I D ⊥ B C$ ).

Vậy $Δ A D B = Δ A D C$ (g.c.g). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng). (1)

Tương tự ta có: $Δ B E A = Δ B E C$ (g.c.g). Suy ra: BA = BC ( 2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.

Vậy tam giác ABC đều.