Giải bài 4 trang 121 vở thực hành Toán 9

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó (B in left( O right)) và (C in left( {O'} right)). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O’); b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó $B \in (O)$ và $C \in (O^{'})$ . Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O’);

b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $A \in O O^{'}$ .

+ Chứng minh $M A ⊥ A O$ suy ra $M A ⊥ A O^{'}$ . Do đó, MA là tiếp tuyến của (O’).

b) + Chứng minh $M A = M B$ , $M A = M C$ nên $M A = M B = M C$ .

+ Do đó, M là trung điểm của BC.

+ Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng $\frac{1}{2}$ BC nên là tam giác vuông tại A.

Lời giải chi tiết

(H.5.41)

a) Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A nên $A \in O O^{'}$ .

Vì MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên $M A ⊥ A O$ tại A, từ đó suy ra $M A ⊥ A O^{'}$ .

Do đó, MA là tiếp tuyến của (O’).

b) MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tai M nên $M A = M B$ .

Tương tự đối với đường tròn (O’), ta cũng có $M A = M C$ .

Do đó, $M A = M B = M C$ . Do đó, $M B = M C$ .

Vậy M là trung điểm của BC.

Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng $\frac{1}{2}$ BC nên là tam giác vuông tại A.