Giải bài 4 trang 14

Đề bài

Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn $\left(O;R\right)$ và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

Kẻ đường kính BB’.

Do B, C cố định trên (O) nên B’, C cũng cố định trên (O).

Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }C}$ là vectơ không đổi.

Ta có $\widehat{BC{B}^{\prime }}={90}^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra $BC\perp B^{\prime }C.$

Mà $AH\perp BC$  (do H là trực tâm của ∆ABC).

Do đó $AH//B^{\prime }C\left(1\right)$

Chứng minh tương tự, ta được $A{B}^{\prime }//CH\left(2\right)$

Từ (1), (2), suy ra tứ giác AHCB’ là hình bình hành.

Suy ra $AH=B^{\prime }C.$

Mà $AH//B^{\prime }C$  (chứng minh trên).

Vì vậy $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$

Do đó $H=T_{\overrightarrow{B^{\prime }C}}\left(A\right)$.

Vậy khi A thay đổi trên đường tròn (O) thì trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên ảnh của đường tròn (O) là đường tròn (O’) qua $T_{\overrightarrow{B^{\prime }C}}$.