Giải bài 4 trang 17

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=\frac{4x^2-2x+9}{2x-1}$ trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$;

b) $y=\frac{x^2-2}{2x+1}$ trên nửa khoảng $\left[0;+\infty \right)$;

c) $y=\frac{9x^2+3x+7}{3x-1}$ trên nửa khoảng $\left(\frac{1}{3};5\right]$;

d) $y=\frac{2x^2+3x-3}{2x+5}$ trên đoạn $\left[-2;4\right]$.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{4x^2-2x+9}{2x-1}$ trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\left(4x^2-2x+9\right)}^{\prime }\left(2x-1\right)-\left(4x^2-2x+9\right){\left(2x-1\right)}^{\prime }}{{\left(2x-1\right)}^2}\\ =\frac{\left(8x-2\right)\left(2x-1\right)-\left(4x^2-2x+9\right).2}{{\left(2x-1\right)}^2}=\frac{8x^2-8x-16}{{\left(2x-1\right)}^2}\end{array}$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=2$ hoặc $x=-1$ (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left(1;+\infty \right)}{min}f\left(x\right)=f\left(2\right)=7$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\left(1;+\infty \right)$.

b) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-2}{2x+1}$ trên nửa khoảng $\left[0;+\infty \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\left(x^2-2\right)}^{\prime }\left(2x+1\right)-\left(x^2-2\right){\left(2x+1\right)}^{\prime }}{{\left(2x+1\right)}^2}=\frac{2x\left(2x+1\right)-\left(x^2-2\right).2}{{\left(2x+1\right)}^2}\\ =\frac{2x^2+2x+4}{{\left(2x+1\right)}^2}=\frac{2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{2}}{{\left(2x+1\right)}^2}>0,\forall x\in \left[0;+\infty \right)\end{array}$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=2$ hoặc $x=-1$ (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $\left[0;+\infty \right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left[0;+\infty \right)}{min}f\left(x\right)=f\left(0\right)=-2$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\left[0;+\infty \right)$.

c) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{9x^2+3x+7}{3x-1}$ trên nửa khoảng $\left(\frac{1}{3};5\right]$.

Ta có:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\left(9x^2+3x+7\right)}^{\prime }\left(3x-1\right)-\left(9x^2+3x+7\right){\left(3x-1\right)}^{\prime }}{{\left(3x-1\right)}^2}\\ =\frac{\left(18x+3\right)\left(3x-1\right)-\left(9x^2+3x+7\right).3}{{\left(3x-1\right)}^2}=\frac{27x^2-18x-24}{{\left(3x-1\right)}^2}\end{array}$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\frac{4}{3}$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$ (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left(\frac{1}{3};5\right]$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left(\frac{1}{3};5\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(\frac{4}{3}\right)=9$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $\left(\frac{1}{3};5\right]$.

d) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2+3x-3}{2x+5}$ trên đoạn $\left[-2;4\right]$.

Ta có:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\left(2x^2+3x-3\right)}^{\prime }\left(2x+5\right)-\left(2x^2+3x-3\right){\left(2x+5\right)}^{\prime }}{{\left(2x+5\right)}^2}\\ =\frac{\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)-\left(2x^2+3x-3\right).2}{{\left(2x+5\right)}^2}=\frac{4x^2+20x+21}{{\left(2x+5\right)}^2}\end{array}$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=-\frac{3}{2}$ hoặc $x=-\frac{7}{2}$ (loại).

$f\left(-2\right)=\frac{11}{9};f\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{2};f\left(4\right)=\frac{41}{13}$

Vậy $\underset{\left[-2;4\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{13},\underset{\left[-2;4\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{2}$.