Giải bài 4 trang 17

Đề bài

Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc ${60}^{\circ }$. Trên bờ biển có hai đài quan sát A và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng 1km và 2km (Hình 2).

a) Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x.

b) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A

c) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500 m.

Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. 

Lời giải chi tiết

a) Đặt độ dài của MO là x km $\left(x>0\right)$

Ta có: $\widehat{MOA}+\widehat{MOB}={180}^{\circ }$ (hai góc bù nhau) $\Rightarrow \widehat{MOA}={120}^{\circ }$

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ta tính được:

+) Khoảng cách từ tàu đến B là $MB=\sqrt{x^2+2^2-\mathrm{2.2.}x.\cos {60}^{\circ }}=\sqrt{x^2-2x+4}$

+) Khoảng cách từ tàu đến A là $MA=\sqrt{x^2+1^2-\mathrm{2.1.}x.\cos {120}^{\circ }}=\sqrt{x^2+x+1}$

b) Theo giải thiết ta có phương trình $MB=\frac{4}{5}MA\Rightarrow \sqrt{x^2-2x+4}=\frac{4}{5}\sqrt{x^2+x+1}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow x^2-2x+4=\frac{16}{25}\left(x^2+x+1\right)\\ \Rightarrow \frac{9}{25}{x}^2-\frac{66}{25}x+\frac{84}{25}=0\end{array}$

$\Rightarrow x\simeq 1,64$ và $x\simeq 5,69$

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt{x^2-2x+4}=\frac{4}{5}\sqrt{x^2+x+1}$ ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi  $x\simeq 1,64$ hoặc $x\simeq 5,69$ thì khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A

c) Đổi 500 m = 0,5 km

Theo giả thiết ta có phương trình sau:

$\begin{array}{c}MB=MO-0,5\Rightarrow \sqrt{x^2-2x+4}=x-0,5\\ \Rightarrow x^2-2x+4={\left(x-0,5\right)}^2\\ \Rightarrow x^2-2x+4=x^2-x+\frac{1}{4}\\ \Rightarrow x=\frac{15}{4}\end{array}$

Thay $x=\frac{15}{4}$ vào phương trình $\sqrt{x^2-2x+4}=x-0,5$ ta thấy thỏa mãn phương trình

Vậy khi $x=\frac{15}{4}$ thì khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500 m.