Giải bài 4 trang 19

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ và đường thẳng $Δ : 2 x + 3 y + 4 = 0.$

a) Tìm ảnh của (C) và $Δ$ qua phép đối xứng trục Ox.

b) Tìm ảnh của (C) và $Δ$ qua phép đối xứng trục Oy.

c) Tìm ảnh của (C) và $Δ$ qua phép đối xứng trục $d : x - y - 3 = 0.$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu $M^{'} = Đ_{O x} (M)$ thì biểu thức tọa độ ${\begin{cases} x_{M^{'}} = x_{M} \\ y_{M^{'}} = - y_{M} \end{cases}$

Nếu $M^{'} = Đ_{O y} (M)$ thì biểu thức tọa độ ${\begin{cases} x_{M^{'}} = - x_{M} \\ y_{M^{'}} = y_{M} \end{cases}$

Lời giải chi tiết

Đường tròn (C) có tâm I(3; 4), bán kính R = 5.

+ Gọi $(C_{1})$ là ảnh của (C) qua $Đ_{O x}$ , khi đó (C₁) có tâm I₁là ảnh của I(3; 4) $Đ_{O x}$ và bán kính $R_{1} = R = 5.$

Ta có $I_{1} = Đ_{O x} (I) .$

Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn $I I_{1}$

Do đó hai điểm I(3; 4) và I₁ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ $I_{1} (3; - 4) .$

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua Đ_Ox là đường tròn (C₁) có phương trình là:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25.$

+ Trục $O x : y = 0.$

Với y = 0, ta có $2 x + 3.0 + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 2.$

Suy ra giao điểm của ∆ và trục Ox là điểm $P (- 2; 0) .$

Khi đó $P = Đ_{O x} (P) .$

Chọn $M (1; - 2) \in Δ$

Gọi M₁ và ∆₁ theo thứ tự là ảnh của M và $Δ$ qua $Đ_{O x}$

Ta thấy Ox là đường trung trực của đoạn MM₁.

Do đó hai điểm M(1; –2) và M₁ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ $M_{1} (1; 2) .$

Ta có $\vec{M_{1} P} = (- 3; - 2)$

Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{M_{1} P} = (- 3; - 2)$

Suy ra $Δ_{1}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{Δ_{1}} = (2; - 3)$

Vậy đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua P(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{Δ_{1}} = (2; - 3)$ nên có phương trình là:

$2 (x + 2) - 3 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 y + 4 = 0.$

+ Gọi $(C_{2})$ là ảnh của (C) qua $Đ_{O y}$ , khi đó $(C_{2})$ có tâm $I_{2}$ là ảnh của $I (3; 4)$ qua $Đ_{O y}$ và bán kính $R_{2} = R = 5.$

Ta có $I_{2} = Đ_{O y} (I) .$

Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn $I I_{2} .$

Do đó hai điểm I(3; 4) và $I_{2}$ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ $I_{2} (- 3; 4) .$

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua $Đ_{O y}$ là đường tròn $(C_{2})$ có phương trình là:

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25.$

+ Trục $O y : x = 0.$

Với x = 0, ta có $2.0 + 3 y + 4 = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{4}{3}$

Suy ra giao điểm của $Δ$ và trục Oy là điểm $Q (0; - \frac{4}{3})$

Khi đó $Q = Đ_{O y} (Q) .$

Chọn $M (1; - 2) \in Δ$

Gọi $M_{2}$ và $Δ_{2}$ theo thứ tự là ảnh của M và $Δ$ qua $Đ_{O y}$

Ta thấy Oy là đường trung trực của đoạn $M M_{2} .$

Do đó hai điểm M(1; –2) và M₂ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ $M_{2} (- 1; - 2) .$

Ta có $\vec{M_{2} Q} = (1; \frac{2}{3})$

Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{2} = 3 \vec{M_{2} Q} = (3; 2)$

Suy ra ∆₂ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{Δ_{2}} = (2; - 3)$

Vậy đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua $M_{2} (- 1; - 2)$ và có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{Δ_{2}} = (2; - 3)$ nên có phương trình là:

$2 (x + 1) - 3 (y + 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 y - 4 = 0.$

+ Gọi $(C_{3})$ là ảnh của (C) qua $Đ_{d}$ , khi đó $(C_{2})$ có tâm $I_{3}$ là ảnh của I(3; 4) qua Đ_dvà bán kính $R_{3} = R = 5.$

Ta có $I_{3} = Đ_{d} (I) .$

Suy ra d là đường trung trực của đoạn II₃ nên II₃ ⊥ d tại trung điểm của II₃.

Mà đường thẳng $d : x - y - 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{d} = (1; - 1)$

Suy ra đường thẳng II₃ có vectơ chỉ phương ${\vec{n}}_{d} = (1; - 1)$

Do đó đường thẳng II₃ có vectơ pháp tuyến $\vec{u} = (1; 1)$

Vì vậy đường thẳng II₃ đi qua điểm I(3; 4) và nhận $\vec{u} = (1; 1)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

$1 (x - 3) + 1 (y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + y - 7 = 0.$

Gọi H là giao điểm của $I I_{3}$ và đường thẳng d.

Suy ra tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình ${\begin{array}{l} x - y - 3 = 0 \\ x + y - 7 = 0 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 2 \end{array}$

Do đó tọa độ $H (5; 2) .$

Ta có H là trung điểm $I I_{3} .$

Suy ra ${\begin{array}{l} x_{I_{3}} = 2 x_{H} - x_{I} = 2.5 - 3 = 7 \\ y_{I_{3}} = 2 y_{H} - y_{I} = 2.2 - 4 = 0 \end{array}$

Do đó tọa độ $I_{3} (7; 0) .$

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua $Đ_{d}$ là đường tròn $(C_{3})$ có phương trình là:

${(x - 7)}^{2} + y^{2} = 25.$

+ Gọi R là giao điểm của $Δ$ và d.

Suy ra tọa độ R thỏa mãn hệ phương trình:

${\begin{array}{l} 2 x + 3 y + 4 = 0 \\ x - y - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 2 \end{array}$

Do đó tọa độ R(1; –2).

Khi đó $R = Đ_{d} (R) .$

Chọn $N (- 2; 0) \in Δ : 2 x + 3 y + 4 = 0.$

Gọi N’ và $Δ_{3}$ theo thứ tự là ảnh của N và $Δ$ qua $Đ_{d}$ .

Ta thấy d là đường trung trực của đoạn NN’.

Mà đường thẳng $d : x - y - 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{d} = (1; - 1)$

Suy ra đường thẳng NN’ có vectơ chỉ phương ${\vec{n}}_{d} = (1; - 1)$

Do đó đường thẳng NN’ có vectơ pháp tuyến $\vec{u} = (1; 1)$

Vì vậy đường thẳng NN’ đi qua N(–2; 0) và nhận $\vec{u} = (1; 1)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

$1 (x + 2) + 1 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x + y + 2 = 0.$

Gọi K là giao điểm của NN’ và đường thẳng d.

Suy ra tọa độ K thỏa mãn hệ phương trình:

${\begin{array}{l} x + y + 2 = 0 \\ x - y - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ y = - \frac{5}{2} \end{array}$

Do đó tọa độ $K (\frac{1}{2}; - \frac{5}{2})$

Ta có K là trung điểm NN’.

Suy ra ${\begin{array}{l} x_{N^{'}} = 2 x_{K} - x_{N} = 2. \frac{1}{2} + 2 = 3 \\ y_{N^{'}} = 2 y_{K} - y_{N} = 2. (- \frac{5}{2}) - 0 = - 5 \end{array}$

Do đó tọa độ N’(3; –5).

Với R(1; –2), ta có $\vec{N^{'} R} = (- 2; 3)$

Đường thẳng $Δ_{3}$ có vectơ chỉ phương $\vec{N^{'} R} = (- 2; 3)$

Suy ra $Δ_{3}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{Δ_{3}} = (3; 2)$

Vậy đường thẳng $Δ_{3}$ đi qua N’(3; –5) và nhận ${\vec{n}}_{Δ_{3}} = (3; 2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

$3 (x - 3) + 2 (y + 5) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 2 y + 1 = 0.$