Giải bài 4 trang 21

Đề bài

Một giếng dầu ngoài khơi được đặt ở vị trí $A$ cách bờ biển 3 km, $B$ là vị trí trên bờ biển gần giếng dầu nhất. Nhà máy lọc dầu được đặt ở vị trí $C$ trên bờ biển, cách vị trí $B$ một khoảng 4 km (Hình 9). Người ta dự định lắp đặt đường ống dẫn dầu gồm hai đoạn thẳng $AD$ và $DC$ ($D$ là một vị trí nằm giữa $B$ và $C$). Biết rằng mỗi mét đường ống đặt dưới biển có chi phí lắp đặt cao gấp đôi so với mỗi mét đường ống đặt trên bờ. Vị trí của $D$ như thế nào để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất?

Lời giải chi tiết

Đặt $BD=x\left(km\right)\left(0\le x\le 4\right)$.

Gọi $a$ là chi phí lắp đặt cho mỗi kilômét đường ống đặt trên bờ.

Khi đó $2a$ là chi phí lắp đặt cho mỗi kilômét đường ống đặt dưới biển.

Ta có: $CD=BC-BD=4-x,AD=\sqrt{A{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{x^2+9}$.

Chi phí lắp đặt đường ống là: $2a\sqrt{x^2+9}+a\left(4-x\right)=a\left(2\sqrt{x^2+9}+4-x\right)$.

Xét hàm số $f\left(x\right)=2\sqrt{x^2+9}+4-x$ trên đoạn $\left[0;4\right]$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=2.\frac{{\left(x^2+9\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+9}}-1=\frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}-1$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}-1=0\iff \frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}=1\iff \sqrt{x^2+9}=2x\iff x^2+9=4x^2\iff x^2=3\iff x=\sqrt{3}$ hoặc $x=-\sqrt{3}$ (loại).

$f\left(0\right)=10;f\left(\sqrt{3}\right)=4+3\sqrt{3};f\left(4\right)=10$.

Vậy $\underset{\left[0;4\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(\sqrt{3}\right)=4+3\sqrt{3}$.

Vậy chi phí lắp đặt thấp nhất khi $x=\sqrt{3}\approx 1,7\left(km\right)$.