Giải bài 4 trang 21

Cho hàm số (y = {x^2} - 2x) có đồ thị (left( C right)). Kí hiệu (A) là hình phẳng giới hạn bởi (left( C right)), trục hoành và hai đường thẳng (x = 0,x = 2); (B) là hình phẳng giới hạn bởi (left( C right)), trục hoành và hai đường thẳng (x = 2,x = aleft( {a > 2} right)). Tìm giá trị của (a) để (A) v

Đề bài

Cho hàm số $y = x^{2} - 2 x$ có đồ thị $(C)$ . Kí hiệu $A$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$ ; $B$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 2, x = a (a > 2)$ . Tìm giá trị của $a$ để $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ là: $S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} S_{A} = \int_{0}^{2} | x^{2} - 2 x | d x = \int_{0}^{2} (- x^{2} + 2 x) d x = {(- \frac{x^{3}}{3} + x^{2}) |}_{0}^{2} = \frac{4}{3} \\ S_{B} = \int_{2}^{a} | x^{2} - 2 x | d x = \int_{2}^{a} (x^{2} - 2 x) d x = {(\frac{x^{3}}{3} - x^{2}) |}_{2}^{a} = \frac{a^{3}}{3} - a^{2} + \frac{4}{3} \end{array}$

Vì $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau nên ta có:

$\frac{4}{3} = \frac{a^{3}}{3} - a^{2} + \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{3} - a^{2} = 0 \Leftrightarrow a = 0$ (loại) hoặc $a = 3$ .

Vậy với $a = 3$ thì $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau.