Giải bài 4 trang 21

Đề bài

Cho hàm số $y=x^2-2x$ có đồ thị $\left(C\right)$. Kí hiệu $A$ là hình phẳng giới hạn bởi $\left(C\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=2$; $B$ là hình phẳng giới hạn bởi $\left(C\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=2,x=a\left(a>2\right)$. Tìm giá trị của $a$ để $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{c}{S}_A=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-2x\right|dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(-x^2+2x\right)dx={\left(-\frac{x^3}{3}+x^2\right)|}_0^2=\frac{4}{3}\\ S_B=\underset{2}{\overset{a}{\int }}\left|x^2-2x\right|dx=\underset{2}{\overset{a}{\int }}\left(x^2-2x\right)dx={\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^a=\frac{a^3}{3}-a^2+\frac{4}{3}\end{array}$

Vì $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau nên ta có:

$\frac{4}{3}=\frac{a^3}{3}-a^2+\frac{4}{3}\iff \frac{a^3}{3}-a^2=0\iff a=0$ (loại) hoặc $a=3$.

Vậy với $a=3$ thì $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau.