Giải bài 4 trang 22

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}}); b) (y = sqrt {{x^2} - 16} ).

Đề bài

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) $y = \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x - 3}$ ;

b) $y = \sqrt{x^{2} - 16}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ hoặc $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ , nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = - \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = - \infty$

thì đường thẳng $x = x_{0}$ là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu $lim_{x \to + \infty} f (x) = y_{0}$ hoặc $lim_{x \to - \infty} f (x) = y_{0}$ thì đường thẳng $y = y_{0}$ là đường tiệm cận ngang.

‒ Tìm tiệm cận xiên $y = a x + b (a \neq 0)$ :

$a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x}$ và $b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - a x]$ hoặc

$a = lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x}$ và $b = lim_{x \to - \infty} [f (x) - a x]$

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = R ∖ {- 3; 1}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to - 3^{-}} f (x) = lim_{x \to - 3^{-}} \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x - 3} = + \infty; lim_{x \to - 3^{+}} f (x) = lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x - 3} = - \infty$

$lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x - 3} = - \infty; lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x - 3} = + \infty$

Vậy $x = - 3, x = 1$ là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x - 3} = 1; lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x - 3} = 1$

Vậy $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Tập xác định: $D = (- \infty; - 4] \cup [4; + \infty)$ .

Ta có:

• $lim_{x \to - 4^{-}} f (x) = lim_{x \to - 4^{-}} \sqrt{x^{2} - 16} = 0; lim_{x \to - 4^{+}} f (x) = lim_{x \to - 4^{+}} \sqrt{x^{2} - 16} = 0$

$lim_{x \to 4^{-}} f (x) = lim_{x \to 4^{-}} \sqrt{x^{2} - 16} = 0; lim_{x \to 4^{+}} f (x) = lim_{x \to 4^{+}} \sqrt{x^{2} - 16} = 0$

Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.

$a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 16}}{x} = 1$ và

$\begin{array}{l} b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - x] = lim_{x \to + \infty} [\sqrt{x^{2} - 16} - x] = lim_{x \to + \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} - 16} - x) (\sqrt{x^{2} - 16} + x)}{\sqrt{x^{2} - 16} + x} \\ = lim_{x \to + \infty} \frac{- 16}{\sqrt{x^{2} - 16} + x} = 0 \end{array}$

Vậy đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

$a = lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 16}}{x} = - 1$ và

$\begin{array}{l} b = lim_{x \to - \infty} [f (x) + x] = lim_{x \to - \infty} [\sqrt{x^{2} - 16} + x] = lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} - 16} - x) (\sqrt{x^{2} - 16} + x)}{\sqrt{x^{2} - 16} - x} \\ = lim_{x \to - \infty} \frac{- 16}{\sqrt{x^{2} - 16} - x} = 0 \end{array}$

Vậy đường thẳng $y = - x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.