Giải bài 4 trang 29

Đề bài

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: $1+q+q^2+...+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}$ với mọi $n\in N\ast$

Lời giải chi tiết

Bước 1: Khi $n=1$ ta có $1=\frac{1-q^1}{1-q}$ hiển nhiên đúng với $q\ne 1$

Như vậy đẳng thức đúng với $n=1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

$1+q+q^2+...+q^{k-1}+q^k=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$1+q+q^2+...+q^{k-1}=\frac{1-q^k}{1-q}$

Suy ra

$\begin{array}{c}1+q+q^2+...+q^{k-1}+q^k=\frac{1-q^k}{1-q}+q^k\\ =\frac{1-q^k}{1-q}+\frac{q^k-q^{k+1}}{1-q}=\frac{1-q^k+q^k-q^{k+1}}{1-q}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n\in N\ast$.