Giải bài 4 trang 31

Đề bài

Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của hàm số $y = - x^{3} - 3 x^{2} + m x + 1$ có tâm đối xứng nằm trên trục $O x$ ? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình $y^{″} = 0$ .

‒ Để kết luận về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta dựa vào dấu của tung độ hai cực trị của phương trình $y^{'} = 0$ .

Lời giải chi tiết

$y^{'} = - 3 x^{2} - 6 x + m; y^{″} = - 6 x - 6; y^{″} = 0 \Leftrightarrow x = - 1$

Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số có tung độ $y = - {(- 1)}^{3} - 3. {(- 1)}^{2} + m . (- 1) + 1 = - m - 1$ .

$I$ nằm trên trục $O x \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ .

Khi $m = - 1$ , hàm số có dạng $y = - x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$ .

Khi đó $y^{'} = - 3 x^{2} - 6 x - 1$ .

Phương trình $y^{'} = 0$ có biệt thức $Δ^{'} = {(- 3)}^{2} - (- 3) . (- 1) = 6 > 0$ . Do đó phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua $I (- 1; 0)$ .

Do đó tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục $O x$ tại 3 điểm phân biệt.