Giải bài 4 trang 31

Với giá trị nào của mmm thì đồ thị của hàm số y=−x3−3x2+mx+1y=−x3−3x2+mx+1y = - {x^3} - 3{x^2} + mx + 1 có tâm đối xứng nằm trên trục OxOxOx? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?

Đề bài

Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của hàm số $y = - x^{3} - 3 x^{2} + m x + 1$ có tâm đối xứng nằm trên trục $O x$ ? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình $y^{″} = 0$ .

‒ Để kết luận về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta dựa vào dấu của tung độ hai cực trị của phương trình $y^{'} = 0$ .

Lời giải chi tiết

$y^{'} = - 3 x^{2} - 6 x + m; y^{″} = - 6 x - 6; y^{″} = 0 \Leftrightarrow x = - 1$

Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số có tung độ $y = - {(- 1)}^{3} - 3. {(- 1)}^{2} + m . (- 1) + 1 = - m - 1$ .

$I$ nằm trên trục $O x \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ .

Khi $m = - 1$ , hàm số có dạng $y = - x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$ .

Khi đó $y^{'} = - 3 x^{2} - 6 x - 1$ .

Phương trình $y^{'} = 0$ có biệt thức $Δ^{'} = {(- 3)}^{2} - (- 3) . (- 1) = 6 > 0$ . Do đó phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua $I (- 1; 0)$ .

Do đó tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục $O x$ tại 3 điểm phân biệt.