Giải bài 4 trang 32

Đề bài

Cho $a,b\ge 0$. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\in N\ast$

$\frac{a^n+b^n}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n$

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp

Với $n=1$ ta có $\frac{a^1+b^1}{2}={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^1$

Vậy bất đẳng thức đúng với $n=1$

Giải sử bất đẳng thức đúng với $n=k$ nghĩa là có $\frac{a^k+b^k}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^k$

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}$

Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^k.\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \left(\frac{a^k+b^k}{2}\right).\left(\frac{a+b}{2}\right)$

Ta sẽ nhận được điều phải chứng minh nếu chứng minh được:

 

$\left(\frac{a^k+b^k}{2}\right).\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}$

Hay $\left(a^k+b^k\right).\left(a+b\right)\le 2\left(a^{k+1}+b^{k+1}\right)$

Hay $a^{k+1}+b^{k+1}+b{a}^k+a{b}^k\le 2\left(a^{k+1}+b^{k+1}\right)$

Hay $a^{k+1}+b^{k+1}-b{a}^k-a{b}^k\ge 0$

Hay $\left(a^k-b^k\right)\left(a-b\right)\ge 0$ đúng vì $\left(a^k-b^k\right)$ và $\left(a-b\right)$ cùng dấu, $k\in N\ast ;a,b\ge 0.$

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.