Giải bài 4 trang 36

Đề bài

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v$ (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

$E (v) = c v^{3} t$

Trong đó $c$ là một hằng số, $E$ được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Biểu diễn vận tốc của cá hồi khi bơi ngược dòng là $v - 6$ (km/h)

+) Từ đó ta tìm thời gian cá hồi bơi ngược dòng trong quãng đường 300 km là $\frac{300}{v - 6}$ (giờ)

+) Từ đó thay thời gian bơi vào biểu thức tính năng lượng tiêu hao $E (v) = c v^{3} t$ ta sẽ được một hàm số chỉ có ẩn $v$

+) Xét hàm số ấn $v$ , yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này.

Lời giải chi tiết

Vận tốc của con cá hồi khi bơi ngược dòng là $v - 6$ (km/h).

Thời gian để con cá hồi đó bơi ngược dòng 300 km là $\frac{300}{v - 6}$ (giờ).

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt quãng đường 300 km là

$E (v) = c v^{3} . \frac{300}{v - 6} = 300 c . \frac{v^{3}}{v - 6}$ (jun)

Xét hàm số $E (v) = 300 c . \frac{v^{3}}{v - 6},$ $v > 6.$

Ta có $E^{'} (v) = 300 c . \frac{3 v^{2} (v - 6) - v^{3}}{{(v - 6)}^{2}} = 300 c . \frac{2 v^{3} - 18 v^{2}}{{(v - 6)}^{2}} .$

Do đó $E^{'} (v) = 0 \Leftrightarrow v = 0$ (không thoả mãn) hoặc $v = 9$ (thoả mãn).

Ta có bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có $min_{(6; + \infty)} E (v) = E (9) = 72900$ tại $v = 9.$

Vậy vận tốc bơi của cá hồi khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất là 9 km/h.