Giải bài 4 trang 36

Đề bài

Tìm toạ độ tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số sau theo tham số $m$:

$y=f\left(x\right)=\left(2-m\right)x^3-3x^2+2$.

Chứng tỏ khi $m$ thay đổi, $I$ luôn thuộc một parabol xác định.

Lời giải chi tiết

Để hàm số đã cho là hàm số bậc ba, ta cần có điều kiện: $2-m\ne 0$ hay $m\ne 2$. (*)

$y^{\prime }=3\left(2-m\right)x^2-6x;y^{\prime \prime }=6\left(2-m\right)x-6;y^{\prime \prime }=0\iff x=\frac{1}{2-m}$.

Vậy $x_I=\frac{1}{2-m}$.

Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số có tung độ:

$y_I=\left(2-m\right).{\left(\frac{1}{2-m}\right)}^3-3.{\left(\frac{1}{2-m}\right)}^2+2=2-\frac{2}{{\left(2-m\right)}^2}=2-2.{\left(\frac{1}{2-m}\right)}^2=-2x_I^2+2$.

Vậy $y_I$ là một hàm số bậc hai theo $x_I$.

Suy ra tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc một parabol, đó là đồ thị hàm số bậc hai $y=-2x^2+2$.

Mặt khác $x_I=\frac{1}{2-m}$ nên $m=2-\frac{1}{x_I}$.

Do $m\ne 2$ nên $2-\frac{1}{x_I}\ne 2\iff \frac{1}{x_I}\ne 0$ (luôn đúng với mọi $x_I\in R$).

Vậy khi $m$ thay đổi, $I$ luôn thuộc parabol $y=-2x^2+2$.