Giải bài 4 trang 37

Đề bài

Xác định hệ số của:

a) $x^{12}$ trong khai triển của biểu thức $(x + 4)^{30}$

b) $x^{10}$ trong khai triển của biểu thức $(3 + 2 x)^{30}$

c) $x^{15}$ và $x^{16}$ trong khai triển của biểu thức ${(\frac{2 x}{3} - \frac{1}{7})}^{51}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Công thức nhị thức Newton: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Lời giải chi tiết

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$(x + 4)^{30} = C_{30}^{0} x^{30} + C_{30}^{1} x^{29} 4^{1} + . . . + C_{30}^{k} x^{30 - k} 4^{k} + . . . + C_{30}^{30} 4^{30}$

Số hạng chứa $x^{12}$ ứng với $30 - k = 12 \Rightarrow k = 18$ . Do đó hệ số của $x^{12}$ là

$C_{30}^{18} 4^{18}$

b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$(3 + 2 x)^{30} = C_{30}^{0} 3^{30} + C_{30}^{1} 3^{29} {(2 x)}^{1} + . . . + C_{30}^{k} 3^{30 - k} {(2 x)}^{k} + . . . + C_{30}^{30} {(2 x)}^{30}$

Số hạng chứa $x^{10}$ ứng với $k = 10$ . Do đó hệ số của $x^{10}$ là

$C_{30}^{10} 3^{20} 2^{10}$

c) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${(\frac{2 x}{3} - \frac{1}{7})}^{51} = C_{51}^{0} {(\frac{2 x}{3})}^{51} + C_{51}^{1} {(\frac{2 x}{3})}^{50} {(- \frac{1}{7})}^{1} + . . . + C_{51}^{k} {(\frac{2 x}{3})}^{51 - k} {(- \frac{1}{7})}^{k} + . . . + C_{51}^{51} {(- \frac{1}{7})}^{51}$

Số hạng chứa $x^{15}$ ứng với $51 - k = 15 \Leftrightarrow k = 36$ . Do đó hệ số của $x^{15}$ là

$C_{51}^{15} {(\frac{2}{3})}^{15} {(- \frac{1}{7})}^{36}$

Số hạng chứa $x^{16}$ ứng với $51 - k = 16 \Leftrightarrow k = 35$ . Do đó hệ số của $x^{16}$ là

$C_{51}^{16} {(\frac{2}{3})}^{16} {(- \frac{1}{7})}^{35}$