Giải bài 4 trang 39

Đề bài

Biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(1 + 3 x)^{n}$ là 90. Tìm giá trị của n.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Số hạng chứa $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} (a x)^{k} b^{n - k}$

Do đó hệ số của $x^{k}$ trong khai triển của $(a x + b)^{n}$ là $C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k}$

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$(1 + 3 x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} (3 x) + . . . + C_{n}^{k} {(3 x)}^{k} + . . . + C_{n}^{n} {(3 x)}^{n}$

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với $k = 2$ , tức là số hạng $C_{n}^{2} (3 x)^{2}$ . Do đó hệ số là $9. C_{n}^{2}$

Do đó $9. C_{n}^{2} = 90 \Leftrightarrow C_{n}^{n - 2} = 10 \Leftrightarrow \frac{n!}{2! (n - 2)!} = 10$

$\Leftrightarrow \frac{n (n - 1)}{2} = 10 \Leftrightarrow n^{2} - n - 20 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 5 \\ n = - 4 (L) \end{array}$

Vậy $n = 5$ thì hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(1 + 3 x)^{n}$ là 90.