Giải bài 4 trang 48

Đề bài

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tìm tọa độ điểm $M \in (E)$ sao cho độ dài $F_{2} M$ lớn nhất, biết $F_{2}$ là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm $M (x, y)$ trên (E) là: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x; M F_{2} = a - \frac{c}{a} x .$

$M F_{1}$ có giá trị nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = - a$ và có giá trị lớn nhất là $a + c$ khi $x = a$

$M F_{2}$ có giá trị nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = a$ và có giá trị lớn nhất là $a + c$ khi $x = - a$

Lời giải chi tiết

Elip có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \Rightarrow a = 5, b = 3$

Ta có: $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4$

Gọi tọa độ của $M (x, y)$ , ta có: $M F_{2} = a - \frac{c}{a} x = 5 - \frac{4}{5} x$

Vì $- 5 \leq x \leq 5$ hay $- 5 \leq - x \leq 5$ nên $5 + \frac{4}{5} (- 5) \leq 5 + \frac{4}{5} (- x) \leq 5 + \frac{4}{5} .5$ $\Leftrightarrow 5 - 4 \leq M F_{2} \leq 5 + 4 \Leftrightarrow 1 \leq M F_{2} \leq 9$

$\Rightarrow M F_{2} \leq 9$ . Dấu bằng xảy ra khi $- x = 5$

Vậy độ dài $F_{2} M$ lớn nhất bằng 9 khi $M (- 5, 0)$