Giải bài 4 trang 48

Đề bài

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) $A=\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)$;

b) $B=\left(\frac{x}{xy-y^2}+\frac{2x-y}{xy-x^2}\right).\frac{x^{2}y-x{y}^2}{{\left(x-y\right)}^2}$

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{c}a)A=\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)\\ =\left(\frac{x+1+x-1}{x^2-1}\right).\left(\frac{x^2-1}{x}\right)\\ =\frac{2x}{x^2-1}.\frac{x^2-1}{x}=\frac{2x.\left(x^2-1\right)}{x\left(x^2-1\right)}=2\end{array}$

Vậy A = 2 không phụ thuộc vào giá trị của các biến

$\begin{array}{c}b)B=\left(\frac{x}{xy-y^2}+\frac{2x-y}{xy-x^2}\right).\frac{x^{2}y-x{y}^2}{{\left(x-y\right)}^2}\\ =\frac{x}{y\left(x-y\right)}.\frac{x^{2}y-x{y}^2}{{\left(x-y\right)}^2}+\frac{2x-y}{x\left(y-x\right)}.\frac{x^{2}y-x{y}^2}{{\left(x-y\right)}^2}\\ =\frac{x}{y\left(x-y\right)}.\frac{xy\left(x-y\right)}{{\left(x-y\right)}^2}+\frac{2x-y}{-x\left(x-y\right)}.\frac{xy\left(x-y\right)}{{\left(x-y\right)}^2}\\ =\frac{x^2}{{\left(x-y\right)}^2}-\frac{\left(2x-y\right)y}{{\left(x-y\right)}^2}\\ =\frac{x^2-\left(2x-y\right)y}{{\left(x-y\right)}^2}=\frac{x^2-2xy+y^2}{{\left(x-y\right)}^2}=\frac{{\left(x-y\right)}^2}{{\left(x-y\right)}^2}=1\end{array}$

Vậy B = 1 không phụ thuộc vào giá trị của biến x