Giải bài 4 trang 54

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (d) và (d') trong mỗi trường hợp sau: a) (d:left{ begin{array}{l}x = t\y = 1 + 3t\z = 1 - tend{array} right.) và (d':left{ begin{array}{l}x = 2 + 2t'\y = 7 + 6t'\z = - 1 - 2t'end{array} right.); b) (d:frac{{x - 2}}{2} = frac{y}{3} = frac{z}{1}) và (d':fr

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $d$ và $d^{'}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d : {\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 1 - t \end{cases}$ và $d^{'} : {\begin{cases} x = 2 + 2 t^{'} \\ y = 7 + 6 t^{'} \\ z = - 1 - 2 t^{'} \end{cases}$ ;

b) $d : \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}$ và $d^{'} : \frac{x}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z}{2}$ ;

c) $d : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}$ và $d^{'} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{1}$ .

b) $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$ và $d^{'} : {\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + t \\ z = 7 \end{cases}$ ;

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ với: $Δ_{1}$ đi qua điểm $M_{1}$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}}$ và $Δ_{2}$ đi qua điểm $M_{2}$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}}$ :

• $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ nếu ${\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = \vec{0} \\ [\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}] \neq \vec{0} \end{cases}$ .

• $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ nếu ${\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = 0 \end{cases}$ .

• $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau nếu $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} \neq 0$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M (0; 1; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 3; - 1)$ .

Đường thẳng $d^{'}$ đi qua điểm $M^{'} (2; 7; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u^{'}} = (2; 6; - 2)$ .

Ta có: $[\vec{u}, \vec{u^{'}}] = (0; 0; 0), \vec{M M^{'}} = (2; 6; - 2)$ .

$[\vec{u}, \vec{M M^{'}}] = (0; 0; 0)$ . Vậy $Δ_{1}$ trùng $Δ_{2}$ .

b) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M (2; 0; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 3; 1)$ .

Đường thẳng $d^{'}$ đi qua điểm $M^{'} (0; 0; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u^{'}} = (4; 6; 2)$ .

Ta có: $[\vec{u}, \vec{u^{'}}] = (0; 0; 0), \vec{M M^{'}} = (- 2; 0; 0)$ .

$[\vec{u}, \vec{M M^{'}}] = (0; - 2; 6)$ . Vậy $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ .

c) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M (1; 1; 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; - 1)$ .

Đường thẳng $d^{'}$ đi qua điểm $M^{'} (2; 2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u^{'}} = (2; 3; 1)$ .

Ta có: $[\vec{u}, \vec{u^{'}}] = (4; - 3; 1), \vec{M M^{'}} = (1; 1; - 1)$ .

$[\vec{u}, \vec{u^{'}}] . \vec{M M^{'}} = 0$ . Vậy $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

d) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M (1; 1; 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; 1)$ .

Đường thẳng $d^{'}$ đi qua điểm $M^{'} (2; 1; 7)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u^{'}} = (0; 1; 0)$ .

Ta có: $[\vec{u}, \vec{u^{'}}] = (- 1; 0; 1), \vec{M M^{'}} = (1; 0; 5)$ .

$[\vec{u}, \vec{u^{'}}] . \vec{M M^{'}} = 4$ . Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.