Giải bài 4 trang 54

Đề bài

Cho hình thang $ABCD\left(AB//CD\right)$ có $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm hai cạnh bên $AD$ và $BC$. Gọi $K$là giao điểm của $AF$ và $DC$ (Hình 12).

a) Tam giác $FBA$ và tam giác $FCK$ có bằng nhau không? Vì sao?

b) Chứng minh: $EF//CD//AB$.

c) Chứng minh $EF=\frac{AB+CD}{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $K$là giao điểm của $AF$ và $DC$ nên $K\in CD$.

Vì $ABCD$ là hình thang nên $AB//CD\Rightarrow AB//CK$.

Xét tam giác $ABF$ có $CK//AB$ ta có:

$\frac{FA}{FK}=\frac{FB}{FC}$ (hệ quả của định lí Thales)

Mà $F$ lần lượt là trung điểm $BC$ nên $\frac{FB}{FC}=1\Rightarrow \frac{FA}{FK}=1\Rightarrow FA=FK$

Xét tam giác $ABF$ và tam giác $KCF$ có:

$FB=FC$ (chứng minh trên)

$FK=FA$ (chứng minh trên)

$\widehat{F_1}=\widehat{F_2}$

Do đó, tam giác $ABF$ bằng tam giác $KCF$ (c – g – c).

b) Vì $E$ là trung điểm của $AD$;$F$ là trung điểm của $BC$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $ADK$.

Do đó, $EF//DK$ (tính chất)$\Rightarrow EF//DC$

Mà $AB//CD\Rightarrow EF//AB//CD$ (điều phải chứng minh).

c) Vì $EF$ là đường trung bình của tam giác $ADK$ nên $EF=\frac{1}{2}DK$.

Tam giác $ABF$ bằng tam giác $KCF$ nên $AB=CK$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: $DK=DC+CK\Rightarrow DK=DC+AB$.

Do đó, $$EF=\frac{1}{2}DK=\frac{1}{2}\left(DC+AB\right)=\frac{DC+AB}{2}$$ (điều phải chứng minh).