Giải bài 4 trang 56

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ . Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình của hypebol $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ trong đó $a > 0, b > 0$ . Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ .

+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh $P (- a; b)$ , $Q (a; b)$ , $R (a; - b)$ , $S - (a; b)$ .

Cho hypebol (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$ .

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ .

+ 4 đỉnh là $A_{1} (- a; 0)$ , $A_{2} (a; 0)$ , $B_{1} (0; - b)$ , $B_{2} (0; b)$ .

Lời giải chi tiết

Hypebol (H) có $a = 8$ , $b = 6 \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 10$ nên ta có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $M (8; 6)$ .

Phương trình hypebol (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$ .

+ Ta có: (E) có các tiêu điểm là tiêu điểm của (H) nên:

$c = 10 \Rightarrow a^{2} - b^{2} = c^{2} = 100$

+ Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) cũng nằm trên (E) $\Rightarrow M (8; 6) \in (E) \Rightarrow \frac{8^{2}}{a^{2}} + \frac{6^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Ta có: $a^{2} - b^{2} = 100$

$\Rightarrow a^{2} = b^{2} + 100$

$\Rightarrow \frac{8^{2}}{b^{2} + 100} + \frac{6^{2}}{b^{2}} = 1$

$\Rightarrow 64 b^{2} + 36 (b^{2} + 100) = b^{4} + 100 b^{2}$

$\Rightarrow b^{4} = 36.100$

$\Rightarrow b^{2} = 6.10 = 60$

$\Rightarrow a^{2} = 60 + 100 = 160$ .

Khi đó phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^{2}}{160} + \frac{y^{2}}{60} = 1$ .