Giải bài 4 trang 56

Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax^2 + bx + c có f(0) = 1,f(1) = 2,f(2) = 5. a) Hãy xác định giá trị của các hệ số a,b và c b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Đề bài

Cho hàm số bậc hai $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ có $f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 5.$

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số $a, b$ và $c .$

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) $f (0) = a {.0}^{2} + b .0 + c = 1$ , từ đó suy ra c.

Tương tự, sử dụng giả thiết $f (1) = 2, f (2) = 5,$ lập hệ phương trình 2 ẩn a, b.

b) Tập giá trị $T = {f (x) | x \in D}$ với D là tập xác định của hàm số $f (x) .$

Với $a = 1 > 0$ :
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ và đồng biến trên khoảng $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $f (0) = a {.0}^{2} + b .0 + c = 1 \Rightarrow c = 1.$

Lại có:

$f (1) = a {.1}^{2} + b .1 + c = 2 \Rightarrow a + b + 1 = 2$

$f (2) = a {.2}^{2} + b .2 + c = 5 \Rightarrow 4 a + 2 b + 1 = 5$

Từ đó ta có hệ phương trình ${\begin{cases} a + b + 1 = 2 \\ 4 a + 2 b + 1 = 5 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a + b = 1 \\ 4 a + 2 b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện $a \neq 0$ )

Vậy hàm số bậc hai đó là $y = f (x) = x^{2} + 1$

b) Tập giá trị $T = {x^{2} + 1 | x \in R}$

Vì $x^{2} + 1 \geq 1 \forall x \in R$ nên $T = [1; + \infty)$

Đỉnh S có tọa độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 0}{2.1} = 0; y_{S} = f (0) = 1$

Hay $S (0; 1) .$

Vì hàm số bậc hai có $a = 1 > 0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ và đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$