Giải bài 4 trang 57

Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây:

Đề bài

Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ sau đây:

a) $d_{1} : x - y + 2 = 0$ và $d_{2} : x + y + 4 = 0$

b) $d_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 5 t \end{cases}$ và $d_{2} : 5 x - 2 y + 9 = 0$

c) $d_{1} : {\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 5 + 3 t \end{cases}$ và $d_{2} : 3 x + y - 11 = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định cặp vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng: $(a_{1}; b_{1}) v à (a_{2}; b_{2})$ .

Bước 2:

+) Nếu 2 vecto cùng phương: Lấy điểm A thuộc d1. Kiểm tra A có thuộc d2 hay không.

=> KL: 2 đường thẳng song song nếu A không thuộc d2.

2 đường thẳng trùng nhau nếu A thuộc d2.

+) Nếu 2 vecto không cùng phương: Tính tích vô hướng.

Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc, nếu khác 0 thì 2 đường thẳng chỉ cắt nhau.

=> Giải hệ phương trình từ hai đường thẳng để tìm giao điểm.

Lời giải chi tiết

a) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (1; - 1), \vec{n_{2}} = (1; 1)$ .

Ta có $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 1.1 + (- 1) .1 = 0$ nên $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}}$ .

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y + 4 = 0 \end{cases}$ ta được nghiệm ${\begin{cases} x = - 3 \\ y = - 1 \end{cases}$ .

Suy ra hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại $M (- 3; - 1)$ .

b) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (5; - 2), \vec{n_{2}} = (5; - 2)$ .

$\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $A (1; 3)$ thuộc $d_{1}$ , thay tọa độ của A vào phương trình $d_{2}$ , ta được $5.1 - 2.3 + 9 = 8 \neq 0$ , suy ra A không thuộc đường thẳng $d_{2}$ .

Vậy hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ song song.

c) $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (3; 1), \vec{n_{2}} = (3; 1)$ .

Suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $A (2; 5)$ thuộc $d_{1}$ , thay tọa độ của A vào phương trình $d_{2}$ , ta được $3.2 + 5 - 11 = 0$ , suy ra A thuộc đường thẳng $d_{2}$ .

Vậy hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trùng nhau.