Giải bài 4 trang 57

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=3cm,AC=4cm.$ Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$.

a) Tính $BC,BD,DC$.

b) Vẽ đường cao $AH$. Tính $AH,HD$ và $AD$.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$3^2+4^2=B{C}^2$

$B{C}^2=25$

Suy ra $BC=5cm$

Ta có: $BD+DC=BC$ suy ra $DC=BC-BD=5-BD$

Vì $AD$ là phân giác của góc $BAC$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

$\frac{BD}{5-BD}=\frac{3}{4}$

$4.BD=3.\left(5-BD\right)$

suy ra $4.BD=15-3.BD$

$4BD+3BD=15$

$7BD=15$ nên $BD=\frac{15}{7}$

Suy ra $DC=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

Vậy $BC=5cm;BD=\frac{15}{7}cm;DC=\frac{20}{7}cm$.

b) Diện tích tam giác $ABC$ vuông tại $A$ là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.4.3=6\left(c{m}^2\right)$

Mặt khác $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC=\frac{1}{2}.AH.5=6$

Suy ra $AH=\frac{6.2}{5}=\frac{12}{5}cm$.

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ ta có:

$A{H}^2+H{B}^2=A{B}^2$

$H{B}^2=A{B}^2-A{H}^2$

$H{B}^2=3^2-{\left(\frac{12}{5}\right)}^2$

$H{B}^2=\frac{81}{25}$

Suy ra $HB=\frac{9}{5}cm$

$HD=BD-BH=\frac{15}{7}-\frac{9}{5}=\frac{12}{35}cm$.

Xét tam giác $AHD$ vuông tại $H$ ta có:

$A{H}^2+H{D}^2=A{D}^2$

$A{D}^2={\left(\frac{12}{35}\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2$

$A{D}^2=\frac{144}{1225}+\frac{144}{25}$

$A{D}^2=\frac{288}{49}$

Suy ra $AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Vậy $AH=\frac{12}{5}cm;HD=\frac{12}{35}cm;AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$.