Giải bài 4 trang 60

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt của cầu đó. a) (4{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 14y - 7z + 4 = 0); b) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 4y - 4z - 19 = 0); c) ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - 6z + 40 = 0).

Đề bài

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt của cầu đó.

a) $4 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 14 y - 7 z + 4 = 0$ ;

b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x - 4 y - 4 z - 19 = 0$ ;

c) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 4 y - 6 z + 40 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Lời giải chi tiết

a) Phương trình $4 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 14 y - 7 z + 4 = 0$ không phải phương trình mặt cầu.

b) $a = - 3, b = 2, c = 2, d = - 19, a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 36 > 0$

Vậy phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x - 4 y - 4 z - 19 = 0$ là phương trình mặt cầu có tâm $I (- 3; 2; 2)$ , bán kính $R = \sqrt{36} = 6$ .

c) $a = 2, b = 2, c = 3, d = 40, a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = - 23 < 0$

Vậy phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 4 y - 6 z + 40 = 0$ không phải là phương trình mặt cầu.