Giải bài 4 trang 65

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho $B M = D N = \frac{1}{3} B D$ .

a) Chứng minh $Δ A M B = Δ C N D$ .

b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng $A M = 2 M I$ .

d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a, c, d) Sử dụng kiến thức về tính chất hình bình hành để chứng minh: Hình bình hành có

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+ Hai cạnh đối song song và bằng nhau.

b) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình bình hành để chứng minh: Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $A B = C D$ , AB//CD. Do đó, $\hat{M B A} = \hat{N D C}$ (hai góc so le trong)

Tam giác AMB và tam giác CND có:

$A B = C D$ (cmt), $\hat{M B A} = \hat{N D C}$ (cmt), $B M = D N$ (gt)

Do đó, $Δ A M B = Δ C N D (c - g - c)$

b) Vì $Δ A M B = Δ C N D$ (cmt) nên $A M = C N$

Tam giác ABN và tam giác CDM có:

$A B = C D$ (cmt), $\hat{A B N} = \hat{M D C}$ , $B N = D M (= \frac{2}{3} B D)$

Suy ra: $Δ A B N = Δ C D M (c - g - c)$ nên $A N = M C$

Tứ giác AMCN có: $A N = M C$ (cmt), $A M = C N$ (cmt) nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên $O A = O C$ .

Tam giác ABC có: $O A = O C$ , suy ra BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Lại có: $B M = \frac{1}{3} B D, B O = \frac{1}{2} B D$ , suy ra $B M = \frac{2}{3} B O$ do đó M là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, $A M = \frac{2}{3} A I, M I = \frac{1}{3} A I$ . Vậy $A M = 2 M I$

d) Vì AMCN là hình bình hành nên AM//CN. Mà $M \in A I, N \in C K$ suy ra AI//CK (1)

mà AD//BC (do ABCD là hình bình hành) và $K \in A D, I \in B C$ nên AK//CI (2)

Từ (1) và (2) suy ra AKCI là hình bình hành. Mà O là trung điểm của AC, suy ra O là trung điểm của KI hay I đối xứng với K qua O.