Giải bài 4 trang 65

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho $BM=DN=\frac{1}{3}BD$.

a) Chứng minh $\Delta AMB=\Delta CND$.

b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng $AM=2MI$.

d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $AB=CD$, AB//CD. Do đó, $\widehat{MBA}=\widehat{NDC}$ (hai góc so le trong)

Tam giác AMB và tam giác CND có:

$AB=CD$(cmt), $\widehat{MBA}=\widehat{NDC}$ (cmt), $BM=DN$ (gt)

Do đó, $\Delta AMB=\Delta CND\left(c-g-c\right)$

b) Vì $\Delta AMB=\Delta CND$ (cmt) nên $AM=CN$

Tam giác ABN và tam giác CDM có:

$AB=CD$(cmt), $\widehat{ABN}=\widehat{MDC}$, $BN=DM\left(=\frac{2}{3}BD\right)$

Suy ra: $\Delta ABN=\Delta CDM\left(c-g-c\right)$ nên $AN=MC$

Tứ giác AMCN có: $AN=MC$ (cmt), $AM=CN$ (cmt) nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên $OA=OC$.

Tam giác ABC có: $OA=OC$, suy ra BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Lại có: $BM=\frac{1}{3}BD,BO=\frac{1}{2}BD$, suy ra $BM=\frac{2}{3}BO$ do đó M là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, $AM=\frac{2}{3}AI,MI=\frac{1}{3}AI$. Vậy $AM=2MI$

d) Vì AMCN là hình bình hành nên AM//CN. Mà $M\in AI,N\in CK$ suy ra AI//CK (1)

mà AD//BC (do ABCD là hình bình hành) và $K\in AD,I\in BC$ nên AK//CI (2)

Từ (1) và (2) suy ra AKCI là hình bình hành. Mà O là trung điểm của AC, suy ra O là trung điểm của KI hay I đối xứng với K qua O.