Giải bài 4 trang 70

Đề bài

Tỉ lệ phát bóng hỏng của một vận động viên bóng chuyền là 15%. Vận động viên đó thực hiện 40 quả phát bóng một cách độc lập với nhau. Gọi $X$ là số quả phát bóng hỏng trong 40 quả đó.

a) Tính kì vọng và phương sai của $X$ .

b) Hỏi xác suất $X$ nhận giá trị bằng bao nhiêu là lớn nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có phân bố nhị thức $B (n; p)$ . Khi đó:

$P (X = k) = C_{n}^{k} . p^{k} . {(1 - p)}^{n - k}$ , với $k = 0, 1, . . ., n$ ; $E (X) = n p$ và $V (X) = n p (1 - p)$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $T$ là phép thử: “Vận động viên thực hiện phát bóng” và $A$ là biến cố: “Vận động viên đó phát bóng hỏng”. Gọi $X$ là số lần xảy ra biến cố $A$ khi lặp lại 40 lần phép thử $T$ .

Do phép thử $T$ được thực hiện 40 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố $A$ mỗi lần thử là 0,15 nên $X$ là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $B (40; 0, 15)$ .

a) Kì vọng của $X$ là: $E (X) = 40.0, 15 = 6$ .

Phương sai của $X$ là: $E (X) = 40.0, 15 (1 - 0, 15) = 5, 1$ .

b) Giả sử xác suất $X$ nhận giá trị bằng $k$ là lớn nhất. Ta có:

$P (X = k) = C_{40}^{k} .0, 15^{k} . {(1 - 0, 15)}^{40 - k} = C_{40}^{k} .0, 15^{k} .0, 85^{40 - k} = C_{40}^{k} . {(\frac{0, 15}{0, 85})}^{k} .0, 85^{40} = C_{40}^{k} .0, 85^{40} . {(\frac{3}{17})}^{k}$

Khi đó $P (X = k + 1) = C_{40}^{k + 1} .0, 85^{40} . {(\frac{3}{17})}^{k + 1}$

TH1: $P (X = k) > P (X = k + 1)$ . Ta có:

$\begin{matrix} C_{40}^{k} .0, 85^{40} . {(\frac{3}{17})}^{k} {> C}_{40}^{k + 1} .0, 85^{40} . {(\frac{3}{17})}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{40!}{k! (40 - k)!} .0, 85^{40} . {(\frac{3}{17})}^{k} - \frac{40!}{(k + 1)! (40 - k - 1)!} .0, 85^{40} . {(\frac{3}{17})}^{k} . \frac{3}{17} > 0 \Leftrightarrow \frac{40!}{k! (39 - k)!} .0, 85^{40} . {(\frac{3}{17})}^{k} (\frac{1}{40 - k} - \frac{3}{17} . \frac{1}{k + 1}) > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{40 - k} - \frac{3}{17} . \frac{1}{k + 1} > 0 \Leftrightarrow \frac{17 (k + 1) - 3 (40 - k)}{17 (k + 1) (40 - k)} > 0 \Leftrightarrow 20 k - 103 > 0 \Leftrightarrow k > \frac{103}{20} \approx 5, 15 \end{matrix}$

Khi đó: $P (X = 6) > P (X = 7) > . . . > P (X = 40)$

TH2: . Ta có:

Khi đó:

Ta có: và

Do đó

Khi đó

Vậy xác suất nhận giá trị bằng 6 là cao nhất.