Giải bài 4 trang 71

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có A(5;7;−4),B(6;8;−3),C(6;7;−3),D′(3;0;3)A(5;7;−4),B(6;8;−3),C(6;7;−3),D′(3;0;3)A\left( {5;7; - 4} \right),B\left( {6;8; - 3} \right),C\left( {6;7; - 3} \right),D'\left( {3;0;3} \right). Tìm toạ độ các đỉnh DDD và A′A′A'.

Đề bài

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A (5; 7; - 4), B (6; 8; - 3), C (6; 7; - 3), D^{'} (3; 0; 3)$ . Tìm toạ độ các đỉnh $D$ và $A^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng toạ độ của vectơ $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ , ta có: $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{1} = x_{2} \\ y_{1} = y_{2} \\ z_{1} = z_{2} \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết

Giả sử $D (x_{D}; y_{D}; z_{D})$ . Ta có

$\vec{A D} = (x_{D} - 5; y_{D} - 7; z_{D} + 4)$ .

$\vec{B C} = (6 - 6; 7 - 8; (- 3) - (- 3)) = (0; - 1; 0)$ .

$A B C D$ là hình bình hành nên $\vec{A D} = \vec{B C}$ .

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{D} - 5 = 0 \\ y_{D} - 7 = - 1 \\ z_{D} + 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{D} = 5 \\ y_{D} = 6 \\ z_{D} = - 4 \end{cases}$ . Vậy $D (5; 6; - 4)$ .

Giả sử $A^{'} (x_{A^{'}}; y_{A^{'}}; z_{A^{'}})$ . Ta có

$\vec{A A^{'}} = (x_{A^{'}} - 5; y_{A^{'}} - 7; z_{A^{'}} + 4)$ .

$\vec{D D^{'}} = (3 - 5; 0 - 6; 3 - (- 4)) = (- 2; - 6; 7)$ .

$A B C D$ là hình bình hành nên $\vec{A D} = \vec{B C}$ .

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A^{'}} - 5 = - 2 \\ y_{A^{'}} - 7 = - 6 \\ z_{A^{'}} + 4 = 7 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A^{'}} = 3 \\ y_{A^{'}} = 1 \\ z_{A^{'}} = 3 \end{cases}$ . Vậy $A^{'} (3; 1; 3)$ .